Короткий план и конкретные формулы.
Модель (стандартный вариант). Пусть два конечных резервуара с постоянными теплоёмкостями $C_h,C_c$ имеют температуры $T_h(t)>T_c(t)$. Через идеальный обратимый двигатель в момент $t$ проходит тепловой поток $q(t)$ от горячего к рабочему телу; двигатель отвергает в холодный резервуар тепло $q(t)T_c/T_h$ (Carnot), поэтому
$$C_h{\dot{T}}_h=-q(t),C_c{\dot{T}}_c=q(t)\frac{T_c}{T_h}.$$ Мгновенная мощность (полезная работа в единицу времени)
$$\dot{W}(t)=q(t)(1-\frac{T_c}{T_h}),$$ и суммарная работа за интервал $[0,t_f]$ $$W={\int }_0^{t_f}q(t)(1-\frac{T_c}{T_h})dt.$$ Процесс заканчивается либо в заданный момент $t_f$, либо при $T_h=T_c$.
1) Максимум при неограниченном времени (квазистатический).
Если время неограничено и можно делать $q\to 0$ (квазистатический, обратимый процесс), максимальная извлекаемая работа достигается при сохранении полной энтропии и общая конечная температура $T_f$ определяется из
$$C_h\ln T_{h0}+C_c\ln T_{c0}=(C_h+C_c)\ln T_f,T_f=\exp \left(\frac{C_h\ln T_{h0}+C_c\ln T_{c0}}{C_h+C_c}\right).$$ Тогда максимальная работа
$$W_{\max }=C_h(T_{h0}-T_f)+C_c(T_{c0}-T_f).$$ (Это — максимальная свободная энергия / эксергия, доступная при обратимом преобразовании.)
2) Ограниченное время / ограничения на поток. Общая постановка оптимизации (контроль $q(t)$ с ограничениями, например $0\le q(t)\le q_{\max }(t)$):
$$\underset{q(\cdot )}{\max }W={\int }_0^{t_f}q(1-\frac{T_c}{T_h})dt$$ при динамике выше и заданных $T_h(0),T_c(0)$. Применяя принцип максимума Понтрягина вводят сопряжённые переменные ${\lambda }_h,{\lambda }_c$ и гамильтониан
$$\mathcal{H}=q(1-\frac{T_c}{T_h})+{\lambda }_h(-\frac{q}{C_h})+{\lambda }_c\left(\frac{q}{C_c}\frac{T_c}{T_h}\right).$$ Условие оптимума по управлению:
$$\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q}=0\text{(если нет граничных ограничений)}:1-\frac{T_c}{T_h}-\frac{{\lambda }_h}{C_h}+\frac{{\lambda }_c}{C_c}\frac{T_c}{T_h}=0.$$ Если есть жёсткие границы на $q$, оптимальное управление обычно либо граничное (bang–bang: $q=0$ либо $q=q_{\max }$), либо содержит особую (singular) дугу, удовлетворяющую уравнению выше вместе с уравнениями для $\dot{\lambda }$.
Качественные выводы и практические рекомендации
- Если нет штрафа за быстрый теплообмен и единственное ограничение — фиксированное время $t_f$ или максимальный локальный поток $q_{\max }$, то для максимизации работы на данном $t_f$ обычно оптимально использовать максимально допустимый поток $q(t)=q_{\max }$ (т.е. «быстро» переносить тепло и извлечь доступную работу) — тривиальный вывод из положительности множителя у $q$ в $\mathcal{H}$.
- Если имеются экономические/энергетические издержки, связанные с величиной потока (например стоимость пропорциональна $q^2$ или ограничен интегральный ресурс $\int qdt$), тогда оптимальная стратегия — bang–bang с возможной особенностью; в этом случае нужен численный интегратор/решатель двухточечной краевой задачи.
- Если теплоперенос задан законом $q=K(T_h-T_c)$ с фиксированным $K$ (то есть вы не управляете $q$, а только наблюдаете), то задача оптимизации исчезает: динамика фиксирована и работа вычисляется прямым интегрированием уравнений (разность температур убывает экспоненциально при линейном законе).
Численные методы
- Для заданных ограничений решать задачу лучше численно: прямые методы (дискретизация по времени + SQP/IPOИ) или косвенные (решение уравнений сопряжённых переменных через shooting). Используйте collocation/pseudospectral (например CasADi, GPOPS-II) или стандартный BVP-решатель для системы состояний+сопряжённых.
Короткая сводка:
- Без ограничения по времени: квазистатический обратимый процесс даёт глобальный максимум $W_{\max }$ с $T_f$ из уравнения сохранения энтропии.
- При ограниченном времени и управляемом потоке $q(t)$: формулируйте оптимальную задачу, применяйте принцип Понтрягина; при отсутствии штрафов за большой $q$ оптимально работать на максимум допустимого потока.
- При стоимости/ограничениях на $q$ оптимальный профиль обычно bang–bang или содержит сингулярную дугу — решается численно.
Если хотите, могу: а) вывести уравнения сопряжённых переменных и условие сингулярной дуги в явном виде, или б) собрать численный пример (задать $C_h,C_c,q_{\max }$ или $K$) и показать оптимальную траекторию/численное решение.