Кратко и по сути.
Физический смысл волновой функции
- Волновая функция $\psi (x,t)$ даёт плотность вероятности найти частицу в положении $x$ в момент $t$: $P(x,t)=|\psi (x,t){|}^2$. Фаза и амплитуда несут информацию о когерентности и интерференции.
- Для гамильтовиана с потенциальной ямой существуют собственные состояния (стационарные уровни) $\{{\varphi }_n(x)\}$ и энергии $\{E_n\}$, являющиеся решением уравнения Шрёдингера. Полное состояние можно разложить по этим собственным функциям:
$$\psi (x,t)=\sum _n{c}_n{\varphi }_n(x)e^{-i{E}_{n}t/\hslash },c_n=⟨{\varphi }_n|\psi (\cdot ,0)⟩.$$ - В конечной потенциальной яме (ширина $L$, барьер высоты $V_0$, энергия связанного состояния $E<V_0$) волновые функции внутри ямы колебательны, а за стенками экспоненциально затухают. Обозначая $k=\sqrt{2mE}/\hslash$ и $\kappa =\sqrt{2m(V_0-E)}/\hslash$, условия непрерывности дают трансцендентные соотношения для уровней:
$$\text{чётные:}k\tan \left(\frac{kL}{2}\right)=\kappa ,\text{нечётные:}-k\cot \left(\frac{kL}{2}\right)=\kappa .$$
Коллапс волновой функции (интерпретация)
- При идеальном измерении наблюдаемой, у которой собственные функции совпадают с ${\varphi }_n$ (например, измерение энергии), состояние проецируется на соответствующий собственный вектор: при результате $E_n$ $$\psi (x,t_0^{+})={\varphi }_n(x)\text{(в идеализации)}.$$ Вероятность получить $E_n$ равна $P_n=|c_n{|}^2$.
- При измерении координаты с результатом $x_0$ состояние резко локализуется в окрестности $x_0$. Математически это проекция на сильно локализованный пакет (в пределе $\delta (x-x_0)$), что даёт широкий спектр по импульсу и быстрый последующий разворот/распространение:
$$\psi (x,t_0^{+})\approx \text{узкий гауссов пакет около}{x}_0,$$ а потом
$$\psi (x,t)=\sum _n⟨{\varphi }_n|\psi (\cdot ,t_0^{+})⟩{\varphi }_n(x)e^{-i{E}_n(t-t_0)/\hslash }.$$ - «Коллапс» — идеализация взаимодействия с измерительным прибором; физически происходит декогеренция и обмен энергией/импульсом с прибором, после чего состояние оказывается близким к одному из собственных состояний наблюдаемой.
Как экспериментально различить собственные состояния в конечной яме
- Энергетическая спектроскопия: резонансное поглощение/излучение фотонов — пики при разностях энергий $E_m-E_n$. Интенсивность пропорциональна квадрату матричного элемента перехода $|⟨{\varphi }_m|{\hat{H}}_{\text{int}}|{\varphi }_n⟩{|}^2$.
- Туннельная спектроскопия / STM/STS: сканирующий туннельный микроскоп измеряет локальную плотность состояний, отображая карту $|{\varphi }_n(x){|}^2$ и пики в дифференциальной проводимости при резонансах уровней.
- Транспортные измерения в квантовых точках/ямках: резонансный туннелинг, ступени проводимости и блокада Кулона дают информацию о энергиях и вырожденности уровней.
- Фотоэмиссия и ARPES (для двумерных или поверхностных ям): измеряют энергию и импульс электронов, соответствующие уровням и их дисперсии.
- Временная (pump–probe) спектроскопия: возбуждение волнового пакета и наблюдение его осцилляций даёт интервалы $E_m-E_n$ и фазы, позволяет реконструировать коэффициенты $c_n$.
- Квантовая томография (для искусственных двух- или маломногоуровневых систем): серия проекционных измерений в различных базисах позволяет восстановить состояние (амплитуды и фазы).
- Прямое картирование вероятностной плотности: ослабленное зондирование (weak measurement) или низкоинвазивные сканирующие зонды могут приблизительно измерять $|\psi (x){|}^2$.
Практические замечания
- Для дискретных уровней ($E<V_0$) пики в спектре хорошо различимы, для уровней над барьером — непрерывный спектр.
- Сильное измерение разрушает когерентные суперпозиции; для определения амплитуд $c_n$ нужны повторяемые эксперименты или нелокальные (интерференционные) методы.
- Разрешение эксперимента (энергетическое/пространственное/временное) и возмущение системы измерителем определяют, насколько «идеальным» будет коллапс и насколько точно можно различить собственные состояния.
Если нужно, могу вывести подробнее трансцендентные уравнения для конкретной геометрии ямы (центрированная или от $0$ до $L$), или перечислить конкретные экспериментальные установки и типичные сигнатуры.