Коротко — сначала принципы, затем ограничения (классические и квантовые) с ключевыми формулами.
1) Физические принципы работы МРТ
- Ядра с магнитным моментом (обычно протоны в воде) в однородном статическом поле $B_0$ прецессируют с угловой частотой Лармора
$${\omega }_0=\gamma B_0,$$ где $\gamma$ — гиромагнитное отношение ядра ($\gamma /2\pi \approx 42.58\text{МГц/Т}$ для протона).
- При тепловом равновесии население уровней задаётся распределением Больцмана; относительная поляризация мала:
$$P=\tanh \left(\frac{\gamma \hslash B_0}{2k_{B}T}\right)\approx \frac{\gamma \hslash B_0}{2k_{B}T}(\text{при}\gamma \hslash B_0\ll k_{B}T).$$ Для протонов при $B_0=1.5\text{Т}$, $T\approx 300\text{К}$ это $P\sim 5\times 10^{-6}$.
- Совокупный магнитный момент образует вектор намагниченности $\mathbf{M}$. Эволюция $\mathbf{M}$ описывается уравнениями Блоха:
$$\frac{d\mathbf{M}}{dt}=\gamma \mathbf{M}\times \mathbf{B}-\frac{M_x\hat{ı}+M_y\hat{ȷ}}{T_2}-\frac{M_z-M_0}{T_1}\hat{k},$$ где $T_1,T_2$ — времена релаксации.
- Возбуждение радиочастотным полем $B_1$ при резонансной частоте переводит магнитизацию в поперечную плоскость; её свободная прецессия индуцирует напряжение в приёмной катушке (закон Фарадея).
- Пространственное кодирование достигают градиентными полями $G$ — добавляя к $B_0$ линейно меняющееся поле, делают ларморовскую частоту зависимой от координаты: $\omega (x)=\gamma (B_0+Gx)$. Съёмка в k‑пространстве и обратное преобразование Фурье дают изображение.
2) Ограничения по разрешению и глубине (классические)
- Разрешение по частоте/времени: частотная разрешающая способность ограничена временем наблюдения $T_{\text{acq}}$: $\Delta f\gtrsim 1/T_{\text{acq}}$. Для частотного кодирования пространственное разрешение примерно
$$\Delta x\approx \frac{\Delta f}{(\gamma /2\pi )G}=\frac{1/T_{\text{acq}}}{(\gamma /2\pi )G}.$$ - Ограничение из-за дефазирования (линией ширины): если $T_2^{\ast }$ — эффективное время когерентности, то минимальная разрешаемая ячейка задана
$$\Delta x\gtrsim \frac{1}{(\gamma /2\pi )G{T}_2^{\ast }}.$$ - SNR и объём вокселя: сигнал пропорционален числу ядер в вокселе $N=\rho V$ и поляризации $P$; шум в клинической установке определяется тепловым шумом катушки и электроники. При прочих равных SNR примерно пропорционален объёму вокселя и возрастает с $B_0$ (приблизительно линейно или немного быстрее в зав. от режима).
- Практические ограничения: максимальная величина градиентов $G$ (технически и по допустимым токам), неоднородности поля $B_0$, неоднородности $B_1$ (особенно на высоких частотах), артефакты от неоднородных сред, время сканирования (долгое время повышает SNR через усреднение), тепловые и физиологические ограничения для пациента.
- Глубина проникновения RF: для МРТ на частотах для протонов (несколько десятков — сотен МГц) длина волны в ткани сравнима с размером тела на высоких полях (вводит неравномерности $B_1$), но фундаментального «пограничного» ограничения на глубину как у оптики нет — ограничение практическое (чувствительность катушки, распределение поля).
3) Квантовые пределы
- Термальная (энергетическая) поляризация $P$ очень мала — это фундаментальный источник слабого сигнала; увеличение $B_0$ и снижение температуры повышают $P$.
- Шум проекции спина (spin‑projection noise): при малом числе спинов квантовые флуктуации магнитного момента приводят к фону, который масштабируется как $\sqrt{N}$. При достаточно малого $N$ квантовый шум превосходит тепловой и ограничивает минимально детектируемый сигнал. В простом приближении SNR_{quant}\propto \sqrt{N}\,P.
- Частотно‑временная неразрешимость — версия принципа неопределённости: для различения частотных компонент требуется время; это даёт уже приведённые оценки $\Delta f\gtrsim 1/T$ и, через градиент, пространственную границу $\Delta x\gtrsim 1/((\gamma /2\pi )GT)$. Это не «квантовая» запретная граница в смысле принципа Гейзенберга, но фундаментально вытекает из преобразования Фурье и конечного времени наблюдения.
- Детектирование одиночных спинов обычными методами МРТ практически невозможно из‑за крайне малой поляризации и малой магнитизации; для одиночных спинов нужны квантовые сенсоры (NV‑центры, SQUID и т.п.), что выходит за рамки классической МРТ.
4) Практические числа и выводы
- Поляризация протонов: $P\sim 10^{-6}-10^{-5}$ при комнатной температуре и клинических полях (1.5–7 Т) — основной причинный фактор слабости сигнала.
- Разрешение: клиническое МРТ обычно имеет поперечное разрешение порядка $1\text{мм}$, специальные исследования (микро‑МРТ, высокие поля, долгие усреднения, маленькие образцы) достигают десятков — единиц микрометров; дальше мешает SNR, $T_2^{\ast }$, градиенты и практические ограничения. Квантово теоретически можно стремиться к меньшим объёмам, но требуется либо повышенная поляризация (низкие $T$ или гиперполяризация), либо квантовые сенсоры.
- Итог: фундаментальные физические пределы МРТ заданы очень малой тепловой поляризацией и временными/частотными ограничениями (связанные с $T_2^{\ast }$ и длительностью измерения), а практические — SNR, градиентная аппаратура, неоднородности и свойства ткани. Квантовый предел проявляется через шум проекции спина и малую $P$; классические — через шум электроники, ограниченность $G$, $T_2^{\ast }$ и распределение полей.
Если нужно — могу привести численные оценки (SNR, минимальный объём вокселя) для конкретных параметров $B_0,G,T_2^{\ast },T_{\text{acq}}$.