Ключевые физические параметры, влияющие на скорость звука в твёрдом теле:
- упругие характеристики (жёсткость) материала — элементы тензора жёсткости $C_{ijkl}$ или для изотропного случая модуль сдвига $G$ и объёмный модуль $K$ (или параметры Ламе $\lambda ,\mu$);
- плотность $\rho$;
- микроструктура (пористость, дефекты, зеренная текстура), тип химической связи (ковалентная, ионная, металлическая);
- температура и давление (изменяют $C_{ijkl}$ и $\rho$);
- частота волн (дисперсия, поглощение, взаимодействие с фононами при высоких частотах).
Основные формулы (изотропный случай):
- скорость продольной (лонгитюдной) волны
$$v_l=\sqrt{\frac{K+\frac{4}{3}G}{\rho }}=\sqrt{\frac{\lambda +2\mu }{\rho }};$$ - скорость поперечной (сдвиговой) волны
$$v_t=\sqrt{\frac{G}{\rho }}=\sqrt{\frac{\mu }{\rho }}.$$ Из этих формул видно: при прочих равных, жёсткость возрастает — скорость растёт; плотность растёт — скорость падает.
Почему в одних кристаллах скорость анизотропна:
- в кристаллах упругое поведение описывается тензором четвёртого порядка $C_{ijkl}$, который в общем случае зависит от направлений кристаллографических осей. Для произвольного направления единичный вектор $\mathbf{n}$ скорость определяется собственными значениями задачи Кристоффеля:
$${\Gamma }_{ik}(\mathbf{n})u_k=\rho v^2{u}_i,{\Gamma }_{ik}(\mathbf{n})=C_{ijkl}{n}_j{n}_l,$$ где $u_i$ — поляризация. Собственные значения $\rho v^2$ дают квадраты скоростей для трёх поляризаций. Если элементы $C_{ijkl}$ зависят от направления, то и $v(\mathbf{n})$ зависят от направления — возникает анизотропия.
- симметрия кристаллической решётки сокращает число независимых компонент $C_{ijkl}$. При высокой симметрии (идеально изотропный материал или среда с усреднённой случайной текстурой) скорость не зависит от направления; при низкой симметрии (например, слоистые структуры, графит, гексагональные, ортотромбические кристаллы) — направление существенно меняет жёсткость и скорость.
- пример: в кубических кристаллах вдоль осей [100] скорости связаны с $C_{11}$ и $C_{44}$ (простые выражения), а вдоль [111] — с комбинацией $C_{11},C_{12},C_{44}$, потому значения различаются.
Дополнительные факторы анизотропии:
- текстура поликристаллического образца (выравнивание зерен) даёт макроскопическую анизотропию;
- ориентированная пористость, ориентированные слои или волокна;
- направление главных межатомных связей (в слоистых материалах связь в плоскости сильнее, чем между плоскостями — большая анизотропия).
Коротко: скорость звука в твёрдом теле определяется соотношением упругой жёсткости и плотности ($v\sim \sqrt{C/\rho }$); анизотропия возникает потому, что в кристаллах жёсткость — тензорная величина и меняется при повороте направления распространения относительно кристаллографических осей.