Коротко и по сути — что действует на шину, как связаны угловая скорость, сцепление и тормозной путь, и какие модели применять.
1) Силы и моменты на шину при заносе:
- нормальная сила: $N$ (реакция дорожного полотна), вертикальная равнодействующая веса $mg$ и динамической нагрузки;
- продольная сила (тормозная/тяговая): $F_x$ — сила трения в направлении движения;
- поперечная сила (боковая): $F_y$ — зависит от угла скольжения (угла бокового скольжения) и обеспечивает изменение курса;
- момент выравнивания (self–aligning moment): $M_z$ — из-за смещения результирующей силы относительно центра колеса (пневматический след);
- тормозной/приводной момент на ступице: $T_b$ (управляемый тормозной момент);
- инерционный момент колеса: $I\dot{\omega }$; возможны моменты от капота/кабра и от развала (camber) и аэродинамики.
2) Основные уравнения движения (одномерное продольное и вращательное, упрощённо):
- продольная динамика: $m\dot{v}=-F_x+\dots$ (минус если торможение);
- вращательное движение колеса: $I\dot{\omega }=-T_b+r{F}_x$, где $r$ — эффективный радиус шины.
3) Определение продольного проскальзывания:
- привычное определение при торможении: $\lambda =\frac{v-r\omega }{v}$ (для $r\omega <v$ получаем $\lambda >0$); при блокировке $\lambda \to 1$.
4) Связь силы трения и проскальзывания:
- в линейной области: $F_x\approx C_x\lambda$ (с $C_x$ — продольная жёсткость покрышки);
- более реалистично (полоса насыщения, пик и спад) — «Magic Formula» (Pacejka):
$$F_x=D\sin \left(C\arctan \right(B\lambda -E(B\lambda -\arctan (B\lambda ))\left)\right),$$ где $B,C,D,E$ — эмпирические параметры;
- для совместного продольно-поперечного сцепления часто используют ограничение «эллипс сцепления»:
$$(\frac{F_x}{\mu N}{)}^2+(\frac{F_y}{\mu N}{)}^2\le 1,$$ где $\mu$ — коэффициент сцепления (зависит от $\lambda ,\alpha ,$ состояния поверхности).
5) Тормозной путь — простая оценка:
- при постоянном среднемном замедлении $a$ и жёстком торможении: $d=\frac{v_0^2}{2a}$. При приближении $a\approx \mu g$ (максимальное поперечное/продольное усилие) получаем
$$d\approx \frac{v_0^2}{2\mu g},$$ но это верно при постоянном $\mu$ и отсутствии блокировки колес. На льду $\mu$ невелик (порядка $0.05-0.3$), поэтому путь сильно увеличен. На практике оптимальное торможение достигается при некотором «оптимальном» $\lambda$ (обычно 10–30%), где $F_x$ близок к пику; при полном блокировании $\lambda \to 1$ $F_x$ обычно меньше пикового и путь больше.
6) Взаимосвязь угловой скорости и тормозного пути:
- из уравнений $m\dot{v}=-F_x(\lambda )$ и $I\dot{\omega }=-T_b+r{F}_x(\lambda )$ вместе с $\lambda =\frac{v-r\omega }{v}$ получается динамика $\lambda (t)$. Уменьшение $\omega$ (сильное торможение) увеличивает $\lambda$ → $F_x$ растёт до пика, затем падает (переход в глубокое скольжение) → эффективность торможения падает, тормозной путь растёт. ABS поддерживает $\lambda$ около оптимума, минимизируя путь.
7) Модели шины и трения — рекомендации:
- линейная модель ($F_x=C_x\lambda ,F_y=C_{\alpha }\alpha$) — для малых скольжений и быстрых расчётов;
- Fiala и Brush — аналитические модели с разумным соответствием при умеренных скольжениях (хороши для управления и контроля);
- Pacejka «Magic Formula» — наиболее распространённая для описания стационарных характеристик и комбинированных режимов (точность высокая при подборе параметров);
- LuGre (динамическая модель трения) — хорошо описывает переходы, «статическое/кинетическое» трение, скачки и поведение при восстановлении сцепления (полезно для моделирования ABS/ESC и восстановления траектории);
- многопараметрические распределённые модели (brush/пластина) — дают физически осмысленные оценки распределения нагрузок по контактной пяте.
8) Восстановление траектории:
- при снижении проскальзывания и угла бокового скольжения $F_y$ восстанавливается (линейно $F_y\approx C_{\alpha }\alpha$ в малых углах), выравнивающий момент $M_z$ возвращает колесо; критично поведение при комбинированном скольжении — нужен модель, учитывающая совместную деградацию $F_x$ и $F_y$ (Pacejka, Fiala или brush). Для динамики восстановления важна модель динамического трения (LuGre).
Краткое практическое заключение: на льду $\mu$ мало, поэтому эффективное торможение требует поддержания оптимального проскальзывания (ABS/ESC); для стационарного анализа и управления — Pacejka или Fiala/Brush, для транситов/восстановления — LuGre или динамические модели в сочетании с Pacejka.