Кратко и по существу.
Основные положения
- Закон сохранения момента импульса: если суммарный внешний момент сил относительно выбранной точки равен нулю, то суммарный векторный момент импульса системы постоянен:
$$\frac{d\mathbf{L}}{dt}={\mathbf{M}}_{\text{ext}}=0\Rightarrow \mathbf{L}=\text{const}.$$ - Закон сохранения энергии: если внешние силы не выполняют работу и связи идеальны (без трения, без неупругих ударов), то полная механическая энергия (кинетическая + потенциальная) системы постоянна.
Выражения для системы вращающихся тел
- Общий момент импульса (произвольная опорная точка O):
$$\mathbf{L}=\sum _i\left(I_{i,O}{\mathbf{\omega }}_i+m_i{\mathbf{r}}_{i,CM}\times {\mathbf{v}}_{i,CM}\right),$$ где $I_{i,O}$ — тензор/скаляр момента инерции тела $i$ относительно точки $O$, ${\mathbf{\omega }}_i$ — угловая скорость, $m_i,{\mathbf{r}}_{i,CM},{\mathbf{v}}_{i,CM}$ — масса, радиус-вектор и скорость центра массы.
- Для вращения вокруг общей оси (скалярно):
$$L=\sum _i{I}_i{\omega }_i.$$ - Кинетическая энергия:
$$T=\sum _i\left(\frac{1}{2}{\mathbf{\omega }}_i^{\top }{I}_i{\mathbf{\omega }}_i+\frac{1}{2}{m}_i{v}_{CM,i}^2\right).$$ - Параллельный перенос момента инерции:
$$I_O=I_{CM}+m{d}^2,$$ где $d$ — расстояние от центра масс до точки O (для скалярного момента вокруг оси).
Учет жестких связей (ребристых связей)
- Жёсткая связь накладывает отношения между координатами и угловыми скоростями тел: например, для сочленённых тел ${\omega }_j=a_{j1}{\dot{q}}_1+a_{j2}{\dot{q}}_2$ или для сцеплённых дисков с передаточным отношением $n$: ${\omega }_2=-n{\omega }_1$.
- При идеальной жесткой связи внутренние силы (реакции связей) не создают суммарного внешнего момента и не меняют суммарный $\mathbf{L}$; они лишь перераспределяют импульс между телами.
- В задаче подставьте связи в выражение для $\mathbf{L}$ или $T$ и получите уравнения сохранения в редуцированных переменных.
Примеры применения
1) Два диска сцеплены жёстко (общая $\omega$):
$$I_1{\omega }_f+I_2{\omega }_f=I_1{\omega }_{1,0}+I_2{\omega }_{2,0}\Rightarrow {\omega }_f=\frac{I_1{\omega }_{1,0}+I_2{\omega }_{2,0}}{I_1+I_2}.$$ Кинетическая энергия после сцепления меньше, если начальные угл. скорости различались (потери при неупругом соединении).
2) Зубчатая передача (передаточное отношение $n=r_1/r_2$, знак минус для противоположного направления):
$${\omega }_2=-n{\omega }_1,L=I_1{\omega }_1+I_2{\omega }_2=(I_1-n{I}_2){\omega }_1=\text{const}.$$ При отсутствии внешнего момента решаете по этой зависимости.
Учет ударов и импульсных взаимодействий
- При мгновенных контактах (удары) внешние моменты малы; суммарный $\mathbf{L}$ сохраняется, но механическая энергия может не сохраняться (часто снижается). Для расчёта используют угловой импульс:
$$\sum _i{I}_i{\omega }_{i,+}=\sum _i{I}_i{\omega }_{i,-}.$$
Практический алгоритм
1. Выбрать опорную точку/ось и вычислить моменты инерции $I_i$ (перенести при необходимости).
2. Выписать кинетическую энергию $T$ и/или суммарный момент импульса $L$.
3. Подставить уравнения связей между ${\omega }_i$.
4. Применить закон сохранения момента импульса (если $M_{\text{ext}}=0$) и энергии (только если связи идеальны и нет диссипации).
5. При ударах использовать закон сохранения момента импульса; для упругих ударов — дополнительно закон сохранения энергии.
Краткое замечание о работе реакций связей
- Идеальные жёсткие (нескользящие) связи не делают чистую работу по виртуальным перемещениям — поэтому при отсутствии трения не вносят диссипации. При реальных ребристых/шлицевых сопряжениях возможны потери; тогда энергия не сохраняется, но момент импульса может сохраняться, если внешних моментов нет.
Если нужно, могу расписать конкретный разбор для вашей схемы (геометрия, передачи, начальные угловые скорости).