Модель (упрощённая тепловая схема)
1) Схема тепловых сопротивлений (кофе → внутр. поверхность → стенка чашки → наруж. поверхность → воздух):
$$R_{tot}=R_{int}+R_{wall}+R_{ext},$$ где
$$R_{int}=\frac{1}{h_i{A}_i},R_{wall}=\frac{t}{k{A}_w},R_{ext}=\frac{1}{(h_o+h_r)A_o}.$$
2) Уравнение баланса энергии для «однокапсной» (lumped) модели кофе:
$$C\frac{d{T}_f}{dt}=-\frac{T_f-T_{\infty }}{R_{tot}},C=m{c}_p,$$ решение (экспоненциальный спад):
$$T_f(t)=T_{\infty }+(T_{f0}-T_{\infty })\exp \left(-\frac{t}{\tau }\right),\tau =C{R}_{tot}.$$
3) Линеаризованный коэффициент излучения:
$$h_r\approx \epsilon 4\sigma T_m^3\text{(приближённо)},T_m\approx \frac{T_s+T_{\infty }}{2},$$ или точнее
$$h_r=\epsilon \sigma \frac{T_s^4-T_{\infty }^4}{T_s-T_{\infty }}=\epsilon \sigma (T_s^2+T_{\infty }^2)(T_s+T_{\infty }).$$
Уточнения по параметрам:
- $h_i$ — внутренняя (жидкость→стенка) конвекция, типично $10÷200W/({\mathrm{m}}^2\mathrm{K})$ (естественная/взвешенная конвекция в кофе).
- $h_o$ — внешняя конвекция (естественная в воздухе) типично $5÷25W/({\mathrm{m}}^2\mathrm{K})$; при сквозняке — значительно больше.
- $\epsilon$ — испускательная способность поверхности: для керамики/стекла $\approx 0.8÷0.95$, для полированной нержавеющей стали $\approx 0.05÷0.3$.
- $k$ и $t$ — теплопроводность и толщина стенки: металл (алюминий $k\sim 200$, сталь $k\sim 15$ W/(m·K)), стекло/керамика $k\sim 1÷3$ W/(m·K).
Пример порядковых чисел (оценка): кофе 0.2 кг, $c_p=4180J/(\mathrm{kgK})\Rightarrow C\approx 836J/K$. возьмём площадь $A\approx 0.03{\mathrm{m}}^2$, $T_s\sim 80^{\circ }\mathrm{C}$ ($353$ K), $T_{\infty }=20^{\circ }\mathrm{C}$ ($293$ K), $h_i=100$, $h_o=10W/({\mathrm{m}}^2\mathrm{K})$.
Расчёт $h_r$ при $\epsilon =0.9$ (керамика/стекло): $h_r\approx 6.9W/({\mathrm{m}}^2\mathrm{K})$. Тогда для керамики/стекла с $t=4$ мм, $k=1÷2W/(\mathrm{mK})$ получаем приблизительно
$$R_{int}\approx \frac{1}{100\cdot 0.03}\approx 0.33K/W,R_{wall}\sim 0.07÷0.13K/W,R_{ext}\approx \frac{1}{(10+6.9)0.03}\approx 1.97K/W,$$ и $R_{tot}\approx 2.4K/W$. Тогда $\tau \approx 836\cdot 2.4\approx 2000\mathrm{s}$ (~33 мин).
Для полированной стали ($\epsilon \approx 0.1$, $t=2$ мм, $k\sim 15$):
$$h_r\approx 0.8W/({\mathrm{m}}^2\mathrm{K}),R_{wall}\approx 0.004K/W,R_{ext}\approx \frac{1}{(10+0.8)0.03}\approx 3.1K/W,$$ и $R_{tot}\approx 3.4K/W$, $\tau \approx 836\cdot 3.4\approx 2860\mathrm{s}$ (~48 мин).
(Эти оценки показывают, что при прочих равных металл может охлаждаться медленнее из‑за малой испускательной способности; в реальности металл часто даёт иное поведение из‑за тонкой стенки, контактных потоков, теплоёмкости стенки и проводящего контакта с подложкой.)
Критичные параметры и их влияние (кратко)
- Внутренний коэффициент $h_i$: определяет скорость переноса тепла из объёма кофе к стенке; при низком $h_i$ — замедление остывания (внутренние градиенты).
- Внешняя теплопередача $h_o$ и излучение ($\epsilon$): вместе управляют рассеиванием энергии в окружающую среду; при больших $h_o$ (ветер, перемещение воздуха) — охлаждение ускоряется; высокая $\epsilon$ (керамика/матовое стекло) увеличивает излучение.
- Толщина и теплопроводность стенки $t/k$: влияют на сопротивление стенки $R_{wall}$; для тонких стенок металл обычно даёт малое $R_{wall}$, но сам эффект часто мал по сравнению с $R_{int}$ и $R_{ext}$.
- Теплоёмкость чашки (масса·c): крупная масса чашки («тепловой буфер») может замедлить смену температуры напитка или, напротив, отвести часть тепла при больших теплопроводностях.
- Геометрия и площадь поверхности $A$: большая поверхность увеличивает теплообмен (меньшее $R_{ext},R_{int}$).
- Доп. пути теплопередачи: контакт с подставкой (проводящая передача) и наличие крышки сильно меняют поведение.
Когда модель ломается и что делать
- Условие однокапсной модели: Biot для жидкости должен быть мал: $\mathrm{Bi}=\frac{h_i{L}_c}{k_{fluid}}\ll 0.1$. Для типичных чашек это часто не выполняется → внутри кофе появляются температурные градиенты. Тогда нужна пространственная (1D/2D) модель с уравнениями теплопроводности и граничными условиями конвекции/излучения.
- Для точных прогнозов учитывайте теплоёмкость и проводящую связь стенки чашки и окружающих тел, возможное испарение, и турбулентность внешнего потока.
Коротко: для реальной оценки используйте тепловую схему с сопротивлениями, вычислите $\tau =C{R}_{tot}$. Наиболее критичны: внутренний $h_i$, внешний $h_o$ и излучательная способность $\epsilon$, а также геометрия/площадь и масса чашки — они определяют, будет ли металл остывать быстрее или медленнее по сравнению со стеклом/керамикой.