Коротко и по сути — как форма и ширина барьера влияют на вероятность туннелирования и почему это даёт наблюдаемые полураспады.
1) Основная формула туннельной проницаемости (WKB):
$$P\approx \exp (-2{\int }_{r_1}^{r_2}\kappa (r)dr),\kappa (r)=\frac{\sqrt{2m(V(r)-E)}}{\hslash },$$ где $r_1,r_2$ — классические точки поворота ($V(r_{1,2})=E$), $m$ — масса $\alpha$-частицы, $E$ — её энергия.
2) Как влияют форма и ширина барьера:
- Экспоненциальная чувствительность: любая добавка к интегралу $\int \kappa dr$ приводит к экспоненциальному изменению $P$. Увеличение высоты или ширины барьера увеличивает интеграл и резко уменьшает $P$.
- Для кулоновского барьера внешний радиус поворотной точки приблизительно
$$r_2\approx \frac{Z_d{Z}_{\alpha }{e}^2}{4\pi {\epsilon }_{0}E},$$ поэтому при уменьшении энергии $E$ ширина барьера $r_2-r_{\mathrm{nuc}}$ растёт и $P$ падает экспоненциально.
- Наличие центробежного барьера ($l\ne 0$) добавляет член
$$V_l(r)=\frac{{\hslash }^{2}l(l+1)}{2m{r}^2},$$ что увеличивает эффективную высоту/ширину барьера и дополнительно подавляет $P$.
3) Кулоновский (Гамовский) приближённый результат и связь с полураспадом:
Для $\alpha$-распада часто используют параметр Резерфорда (число электронного взаимодействия)
$$\eta =\frac{Z_d{Z}_{\alpha }{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0\hslash v},v=\sqrt{\frac{2E}{m}},$$ и тогда главный вклад в показатель даёт «Гамовский» фактор
$$P\sim \exp (-2\pi \eta )=\exp (-\frac{2\pi Z_d{Z}_{\alpha }{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0\hslash v}).$$ Поскольку $v\propto \sqrt{E}$, экспонента ~ $\exp (-\mathrm{const}\cdot Z_d/\sqrt{E})$. Это приводит к эмпирическому закону Гейгера—Натталя для полупериодов:
$${\log }_{10}{T}_{1/2}=A+\frac{B}{\sqrt{E}},$$ где константы $A,B$ зависят от заряда дочернего ядра и предфакторных величин.
4) Связь с наблюдаемым временем полураспада:
- Константа распада $\lambda$ записывается как
$$\lambda =S\nu P,$$ где $S$ — фактор предформирования $\alpha$-частицы в ядре (обычно $S\ll 1$), $\nu$ — частота «попыток» (ассаульт-фреквенси, порядка $10^{21}$–$10^{22}{\mathrm{s}}^{-1}$), и $P$ — проницаемость. Полураспад
$$T_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda }=\frac{\ln 2}{S\nu P}.$$ - Поскольку $P$ экспоненциально зависит от формы/ширины барьера, малые изменения в энергии $E$ или в форме барьера приводят к огромному изменению $T_{1/2}$. Фактор $S$ и $\nu$ задают лишь предэкспоненциальную настройку уровня полураспада.
Итог: вероятность прохождения барьера определяется WKB-интегралом $\int \sqrt{V-E}dr$ и экспоненциально чувствительна к ширине/высоте барьера; для реального кулоновского барьера это даёт экспоненциальную зависимость от $1/\sqrt{E}$, что прямо объясняет наблюдаемые закономерности полураспадов (закон Гейгера—Натталя).