Ниже — предсказание при простых и типичных допущениях: прямоугольная петля шириной (в направлении движения) $w$ и высотой $h$, сопротивление $R$, движется со скоростью $v$ по оси $x$ в область $x>0$, где однородное магнитное поле $\mathbf{B}=B\hat{z}$ (входит в/из плоскости — задайте знак). Положим, что в начальный момент часть петли длины $x(t)$ уже внутри поля.
1) Изменение потока и ЭДС
- Магнитный поток через петлю
$$\Phi (t)=Bhx(t)=Bhvt.$$ - Индуцированная ЭДС (закон Фарадея)
$$\mathcal{E}=-\frac{d\Phi }{dt}=-Bhv.$$ - Модуль тока (Ома)
$$I=\frac{|\mathcal{E}|}{R}=\frac{Bhv}{R}.$$
Направление тока (правило Ленца): если $B$ направлено «вглубь страницы» и поток через петлю увеличивается при вхождении, индуцированный магнитный момент должен уменьшать это изменение (создавать поле наружу), соответственно ток будет против часовой стрелки (смотреть на петлю). При обратном знаке $B$ — направление тока меняется на противоположное.
2) Магнитные силы
- На вертикальную («ведущую») сторону петли длиной $h$, находящуюся в поле, действует сила
$$F_{\text{маг}}=IhB=\frac{B^2{h}^{2}v}{R},$$ направленная против движения (т.е. сила торможения). С учётом направления силы вдоль отрицательного направления движения:
$$F_x=-\frac{B^2{h}^{2}v}{R}.$$ (Другие компоненты сил на верхний/нижний участки либо компенсируются, либо дают поперечные пары.)
3) Энергетический баланс
- Мощность Джоуля в петле
$$P_{\text{тепл}}=I^{2}R=\frac{B^2{h}^2{v}^2}{R}.$$ - Механическая мощность, которую должна подводить внешняя сила, чтобы двигать петлю с постоянной скоростью $v$:
$$P_{\text{мех}}=F_{\text{внеш}}\cdot v=-F_{\text{маг}}v=\frac{B^2{h}^2{v}^2}{R}.$$ Таким образом при установившемся движении вся механическая работа переходит в тепло в сопротивлении: $P_{\text{мех}}=P_{\text{тепл}}$. Если учитывать собственную индуктивность $L$ петли, при нарастании тока часть работы запасается в магнитном поле петли как энергия $\frac{1}{2}L{I}^2$, а затем при выходе — возвращается/рассеивается.
4) Замечания и частные случаи
- Когда петля полностью войдёт в область однородного $B$ (поток постоянен), $\mathcal{E}=0$ и ток пропадает (при отсутствии индуктивности).
- Если петля выходит из поля, знак $\mathcal{E}$ и направление тока обратные (тормозящая сила по-прежнему направлена против относительного движения).
- Для более сложного неоднородного $B(x,y)$ поток $\Phi =\iint B_z(x,y)dS$ и общие формулы остаются: $\mathcal{E}=-d\Phi /dt,I=\mathcal{E}/R,F$ вычисляется интегралом $\int Id\mathbf{l}\times \mathbf{B}$.
Если хотите, могу дать рисунок и конкретный численный пример с подставленными значениями $B,h,v,R$.