Классическая версия (друдевая картинка)
- Причина: на носители заряда действует сила Лоренца $\mathbf{F}=q(\mathbf{v}\times \mathbf{B})$. При стационарном состоянии поперечное электрическое поле $E_y$ уравновешивает эту силу.
- Вывод простых выражений: при токе вдоль $x$, плотности тока $j_x=nq{v}_x$ имеем
$$E_y=v_{x}B=\frac{j_{x}B}{nq}.$$ Отсюда коэффициент Холла
$$R_H=\frac{E_y}{j_{x}B}=\frac{1}{nq},$$ и падающее напряжение (для прямоугольного образца толщиной $t$ по направлению $z$)
$$V_H=E_{y}w=\frac{IB}{nqt},$$ с учётом знака заряда $q$ (для электронов $q=-e$, $R_H=-1/(ne)$).
- Тензор проводимости в модели Друде:
$${\sigma }_{xx}=\frac{nq\mu }{1+(\mu B{)}^2},{\sigma }_{xy}=\frac{nq{\mu }^{2}B}{1+(\mu B{)}^2},$$ где $\mu =|q|\tau /m$ — подвижность; угол Холла ${\theta }_H$ задаётся
$$\tan {\theta }_H={\omega }_c\tau =\mu B.$$ - Влияние подвижности и поля: при малых $\mu B$ поведение линейно ($R_H$ постоянен), при больших $\mu B$ поперечные эффекты доминируют, ${\theta }_H$ приближается к $90^{\circ }$. Для наблюдения выраженных магнитных эффектов требуется $\mu B\gtrsim 1$.
Квантовая версия (квантованный эффект Холла и осцилляции)
- Ландау‑уровни: в сильном поле классические орбиты квантуются, уровни разделены энергией $\hslash {\omega }_c$, где ${\omega }_c=|q|B/m$.
- В двумерном электронном газе на площадь приходятся уровни с вырожденностью
$$n_B=\frac{eB}{h}.$$ Заполнение характеризуется заполнением (филлинг-фактором)
$$\nu =\frac{n_{2D}}{n_B}=\frac{n_{2D}h}{eB}.$$ - Целый квантованный эффект Холла: при низкой температуре и больших $B$ поперечная проводимость становится ступенчатой
$${\sigma }_{xy}=\nu \frac{e^2}{h},R_{xy}=\frac{1}{{\sigma }_{xy}}=\frac{h}{\nu e^2},$$ где $\nu$ — целое (целочисленный QHE). Плато возникают из-за локализации состояний в дискретных Ландау‑уровнях; перенос осуществляется по краевым состояниям.
- Дробный QHE: при сильных взаимодействиях возникают плато при дробных $\nu$ (квазичастицы с дробным зарядом).
- Квантовые осцилляции (Shubnikov–de Haas): осцилляции сопротивления периодичны по $1/B$, мощность затухает с понижением подвижности; условие наблюдаемости — $\hslash {\omega }_c\gtrsim k_{B}T$ и ${\omega }_c\tau \gg 1$.
Отличия в металлах и полупроводниках
- Плотность носителей: в металлах $n$ очень велика $\Rightarrow$ малый $R_H$; в полупроводниках $n$ малый $\Rightarrow$ большой $V_H$ — поэтому полупроводники удобны для измерения $n$ и типа носителей.
- Многополосная картина: в металлах часто участвуют несколько зон/типов носителей — тогда
$$R_H=\frac{p{\mu }_h^2-n{\mu }_e^2}{e(p{\mu }_h+n{\mu }_e{)}^2}$$ и знак/температурная зависимость могут меняться; однокомпонентная формула даёт неверный результат.
- Подвижность: в чистых полупроводниковых структурах $\mu$ может быть очень большой, что облегчает достижение квантового режима ($\mu B\gg 1$). В металлах $\tau$ обычно меньше, но при очень низких температурах и сильных полях можно наблюдать квантовые осцилляции.
- Практически: полупроводниковые 2D‑газы (инверсионные слои, гетероструктуры, графен) — стандарт для QHE; в объёмных металлах обычно наблюдают de Haas–van Alphen и Shubnikov–de Haas, но не QHE.
Ключевые условия и показатели
- Классический режим: формулы $R_H=1/(nq)$, $V_H=IB/(nqt)$, $\tan {\theta }_H=\mu B$.
- Переход к квантовому: требуется высокая подвижность ($\mu B\gg 1$), низкая температура ($\hslash {\omega }_c\gtrsim k_{B}T$), двумерность и сильное поле.
- Квантовый сигнал: ступенчатая ${\sigma }_{xy}=\nu e^2/h$ и нулевое ${\sigma }_{xx}$ на плато (идеально).
Этого достаточно, чтобы понять, как магнитное поле и подвижность влияют на классический и квантовый эффекты Холла в металлах и полупроводниках.