Коротко — скорость (расход) течения сыпучего материала в воронке определяется сочетанием геометрических ограничений (отверстие, угол стенок), контактной механики частиц (трение, форма), динамики столкновений и возможной когезии. Основные физические механизмы и их формулы:
- Архирование и засорение (квантование потока при малом соотношении отверстие/частица). При соотношении $D/d$ ниже критического (обычно $\sim 4-6$) вероятность образования прочных арок резко растёт и поток прекращается.
- Эмпирическое законное поведение расхода — закон Беверлу (Beverloo):
$$Q=C{\rho }_b\sqrt{g}(D-kd{)}^{5/2},$$ где $Q$ — массовый расход, $C$ и $k$ — эмпирические константы, ${\rho }_b$ — насыпная плотность, $g$ — ускорение свободного падения, $D$ — диаметр отверстия, $d$ — характерный размер частицы. Этот закон отражает, что эффективный проём уменьшается на несколько диаметров частиц и поток масштабируется как $\sqrt{g}$ и как степень $5/2$ по эффективному диаметру.
- Экраннирование давления (эффект Янссена). Из‑за трения о стенки вертикальное нормальное напряжение насыщает глубину, поэтому расход часто не зависит от высоты слоя (самоэкранирование). Для профиля напряжений:
$${\sigma }_{zz}(z)=\frac{\rho gD}{4{\mu }_{w}K}(1-e^{-4{\mu }_{w}Kz/D}),$$ где ${\mu }_w$ — коэффициент трения стенка‑материал, $K$ — коэффициент бокового давления. Это влияет на локальные условия сдвига у горловины.
- Стены и угол воронки — режимы: массовый поток (все части движутся) vs воронкообразный (funnel) с застойными зонами. Крутые гладкие стенки и малое трение стен стимулируют массовый поток и больший расход; пологие/шероховатые стенки ведут к образованию мёртвых зон и меньшему расходу.
- Микродинамика и режимы течения. Величина безразмерного инертного числа
$$I=\frac{\dot{\gamma }d}{\sqrt{P/{\rho }_p}}$$ (где $\dot{\gamma }$ — скорость сдвига, $P$ — давление, ${\rho }_p$ — плотность частиц) разделяет квазистатический (малый $I$, трение управляет) и инерционный/коллизионный (большой $I$, столкновения важны) режимы, что меняет зависимость расхода от геометрии.
- Размер, форма и полидисперсность частиц: крупные/неправильной формы частицы увеличивают эффективное трение и зацепляемость, снижают $Q$; полидисперсность обычно уменьшает склонность к засорам, но меняет плотность ${\rho }_b$ и $k$ в законе Беверло.
- Когезионные силы (влажность, ван‑дер‑ваальс, статика): вводят прочное сцепление между частицами, повышают вероятность рохования/рэглинга, могут привести к ритмическим потокам, трубованию и сильному снижению расхода. Для сильнокогезионных материалов простые скалярные законы типа Беверло неприменимы.
Практически: увеличение отверстия $D$, уменьшение шероховатости стен и увеличение угла воронки повышают расход; уменьшение $d$ (при фиксированном $D$) снижает риск засора и следует закону Беверло через $D-kd$.