Коротко и по делу.
Основная модель (например, вынужденный нелинейный осциллятор с нелинейной вязкой — Duffing + нелинейный демпфер):
$$m\ddot{x}+c_1\dot{x}+c_p|\dot{x}{|}^{p-1}\dot{x}+kx+\alpha x^3=F\cos (\omega t).$$
Энергия механической системы:
$$E(t)=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2+V(x),V(x)={\int }_0^x(ks+\alpha s^3)ds=\frac{1}{2}kx+\frac{1}{4}\alpha x^4.$$ Производная энергии:
$$\frac{dE}{dt}=\dot{x}(-c_1\dot{x}-c_p|\dot{x}{|}^{p-1}\dot{x}+F\cos (\omega t))=-c_1{\dot{x}}^2-c_p|\dot{x}{|}^{p+1}+F\dot{x}\cos (\omega t).$$
Как меняется энергия:
- Без внешнего возмущения ($F=0$) энергия убывает: $\frac{dE}{dt}\le 0$. Для линейного вязкого трения ($p=1$) усреднённо получается экспоненциальный распад
$$\frac{dE}{dt}\approx -2\gamma E\Rightarrow E(t)=E_0{e}^{-2\gamma t},\gamma =\frac{c_1}{2m}.$$ Для нелинейного трения ($p>1$) падение энергий чаще алгебраическое. В приближении $\dot{x}\sim \sqrt{2E/m}$ усреднённый закон:
$$\frac{dE}{dt}\propto -E^{(p+1)/2}\Rightarrow E(t)\propto (t+t_0{)}^{-2/(p-1)}.$$ То есть нелинейный демпфинг сильнее разряжает энергию при больших амплитудах и даёт более быструю зависимость от амплитуды.
- При наличии вынуждающей силы ($F\ne 0$) баланс диссипации и ввода энергии даёт установившиеся колебания или сложную динамику. Средняя энергия в стационарном режиме определяется соотношением ввода и потерь:
$$⟨c_1{\dot{x}}^2+c_p|\dot{x}{|}^{p+1}⟩\approx ⟨F\dot{x}\cos \omega t⟩.$$
Параметры, влияющие на переход к хаосу:
- Амплитуда возбуждения $F$. Увеличение $F$ часто ведёт к бифуркациям и каскаду удвоений периода.
- Частота возбуждения $\omega$ (детюнинг относительно собственной частоты ${\omega }_0=\sqrt{k/m}$).
- Коэффициенты нелинейности жёсткости $\alpha$ и демпфинга $c_p$ (чем сильнее нелинейность, тем богаче нелинейные резонансы и межгармонические взаимодействия).
- Линейный демпфинг $c_1$ (слишком большой демпфинг подавляет хаос; малый способствует сложной динамике).
- Отношение параметров, безразмерные числа (качество $Q\sim {\omega }_0/(2\gamma )$, безразмерная сила $F/(ka)$ и т.п.).
Типичные механизмы перехода к хаосу:
- Каскад удвоения периода (Feigenbaum) при росте $F$.
- Квазипериодичность и торовые бифуркации при взаимодействии двух частот.
- Интермиттенция и гомоклинические/гетероклинические пересечения (анализ мелниковой функции даёт критерий появления пересечений устойчивых/неустойчивых многообразий, что ведёт к хаосу).
Как диагностировать хаос: положительный максимальный показатель Ляпунова, спектр Фурье с широкой непрерывной составляющей, фрактальная размерность аттрактора.
Короткое резюме: в отсутствии внешнего возбуждения энергия убывает (экспоненциально при линейном демпфинге, алгебраически при нелинейном); для возникновения хаоса необходима внешняя энергия (возбуждение) плюс достаточная нелинейность и умеренный демпфинг — важнейшие управляющие параметры $F$, $\omega$, $\alpha$, $c_1$, $c_p$.