Коротко — причина отклонения и изменение времени падения в том, что сила сопротивления зависит от относительной скорости тела и воздуха: она направлена против вектора относительной скорости $v-w$, а не обязательно строго вертикально. Из этого вытекают два эффекта: изменение вертикальной скорости (время падения) и появление горизонтальной компоненты ускорения (смещение).
Основные формулы и выводы
- Сила сопротивления (квадратичная модель):
$$F_D=-\frac{1}{2}\rho C_{D}A|v-w|(v-w),$$ где $v$ — скорость тела, $w$ — скорость воздуха, $\rho$ — плотность воздуха, $C_D$ — коэффициент сопротивления, $A$ — поперечная площадь.
- Вертикальное уравнение движения (ось вниз положительна), при произвольной вертикальной компоненте ветра $w(t,z)$:
$$m\frac{dv}{dt}=-mg+m\frac{dw}{dt}-\frac{1}{2}\rho C_{D}A|v-w|(v-w).$$ Если $w=$ const, то $\frac{dw}{dt}=0$ и удобно перейти к относительной скорости $u=v-w$:
$$m\frac{du}{dt}=mg-\frac{1}{2}\rho C_{D}Au|u|.$$
- Терминальная (установившаяся) относительная скорость:
$$mg=\frac{1}{2}\rho C_{D}A{v}_{t,rel}^2\Rightarrow v_{t,rel}=\sqrt{\frac{2mg}{\rho C_{D}A}}.$$ Тогда скорость тела относительно земли при установившемся движении: $v=w\pm v_{t,rel}$ (знак по направлению движения).
- В случае отсутствия ветра ($w=0$) аналитическое решение при нулевой начальной скорости (вниз положительно):
$$v(t)=v_t\tanh \left(\frac{gt}{v_t}\right),y(t)=y_0-\frac{v_t^2}{g}\ln \cosh \left(\frac{gt}{v_t}\right),$$ где $v_t=v_{t,rel}$. Время падения с высоты $H$ находится из уравнения
$$H=\frac{v_t^2}{g}\ln \cosh \left(\frac{gT}{v_t}\right).$$
- При постоянном вертикальном ветре $w$ переход $u=v-w$ даёт те же формы для $u(t)$, а для координаты:
$$y(t)=y_0-wt-\frac{v_{t,rel}^2}{g}\ln \cosh \left(\frac{gt}{v_{t,rel}}\right),$$ и время падения $T$ решается из
$$H=wT+\frac{v_{t,rel}^2}{g}\ln \cosh \left(\frac{gT}{v_{t,rel}}\right).$$
Интерпретация и практические следствия
- Если воздух поднимается (восходящий поток, $w>0$), относительная скорость вниз уменьшается, сопротивление слабее и время падения увеличивается; при $w$ близком к $v_{t,rel}$ тело может фактически «зависнуть» или даже подняться. При сильном нисходящем потоке время падения уменьшается.
- Горизонтальные скорости воздуха дают горизонтальную компоненту силы сопротивления; тело постепенно приобретает горизонтальную скорость, стремящуюся к скорости воздуха, поэтому появится значительное горизонтальное смещение ~воздух·время падения. При градиентах ветра и турбулентности траектория дополнительно усложняется.
- Для больших высот и сильного сопротивления реальная траектория и время падения обычно требуют численного решения системы ОДУ (или моделирования с турбулентностью). Для простых оценок можно применять приведённые аналитические формулы при предположении постоянных параметров и квадратичного сопротивления.
Если нужно, могу дать пример численного расчёта времени падения для конкретных $m,C_D,A,\rho ,w,H$.