Кратко о механизмах потерь энергии и моделях затухания.
1) Основная уравновешивающая модель
- Уравнение колебательной системы с вязким трением: $m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0$.
- Относительный коэффициент затухания: $\zeta =\frac{c}{2\sqrt{km}}$. Для слабого затухания отношение добротности и затухания: $Q\approx \frac{1}{2\zeta }$. Энергия экспоненциально убывает: $E(t)=E_0{e}^{-2\zeta {\omega }_{n}t}$, ${\omega }_n=\sqrt{k/m}$.
2) Внутренняя диссипация материалов (виско-упругое и гистерезное поведение)
- Механизмы: релаксация дефектов и дислокаций, межфазные трения, микроструктурная релаксация.
- Модели: Kelvin–Voigt ($\sigma =E\epsilon +\eta \dot{\epsilon }$), Maxwell, стандартный линейный твердотель (Zener) и модель со сложным модулем: $E^{\ast }(\omega )=E^{\prime }(\omega )+i{E}^{\prime \prime }(\omega )$. Параметр потерь (internal friction) $Q^{-1}=\frac{E^{\prime \prime }}{E^{\prime }}$. Для гистерезного (структурного) затухания потери часто почти независимы от частоты.
3) Сопротивление воздуха (аэродинамическая диссипация)
- Для малых скоростей (ламинарный режим, малые размеры) — линейное сопротивление (Стокс): $F=6\pi \eta rv$ (сферa), или в общем $F\propto v$ при низких Re.
- Для больших скоростей/размеров — квадратичное сопротивление: $F_d=\frac{1}{2}\rho C_{d}A{v}^2$.
- Пограничный слой и гидродинамическая вязкость важны: толщина краевой слои $\delta =\sqrt{\frac{2\nu }{\omega }}$ (частотозависимая). На низких частотах аэродинамика доминирует для больших поверхностей.
4) Термоупругие потери (thermoelastic damping)
- Механизм: упругая деформация создаёт неравномерный нагрев → теплоперенос → необратимая диссипация.
- Частотная зависимость Zener: $Q^{-1}=\Delta \frac{\omega \tau }{1+(\omega \tau {)}^2}$, где $\tau$ — время релаксации теплопереноса, $\Delta$ — амплитуда эффекта. Максимум потерь при $\omega \tau \approx 1$. Важны размеры и теплопроводность.
5) Другие механизмы (особенно для малых масштабов)
- Поверхностные потери (адсорбаты, адсорбция/десорбция), трение на границах, контактное трение (Coulomb).
- В микро/наномасштабах — фонон-фононные взаимодействия (Akhiezer, Landau–Rumer), рассеяние на границах и дефектах, квантовые эффекты. Модели: уравнение Больцмана для фононов, молекулярная динамика (MD).
6) Как выбирать модель по масштабу
- Макро (структурные детали): континуальные модели с вязким/гистерезным демпфированием; метод модального демпфирования / Rayleigh: $C=\alpha M+\beta K$.
- Мезо (элементы, слоистые материалы): стандартный линейный твердый, частотозависимый комплексный модуль.
- Микро/нано: термоупругие, поверхностные и фононные модели; при необходимости — MD или кинетическая теория фононов.
7) Практические советы по моделированию
- Если поведение близко к экспоненциальному — модель вязкого демпфера $c$ и $\zeta$ достаточна.
- При наблюдаемой частотной зависимости потерь — использовать комплексный модуль/стандартный линейный твердый или Zener-модель для thermoelastic.
- Для аэродинамики — выбирать между линейной формой (малая Re) и квадратичной (высокие скорости); учитывать пограничный слой ($\delta$).
- Для FEM — задавать частотнозависимый комплексный модуль или матрицу демпфирования Rayleigh; для точного nanoscale — MD или фононная Больцмановская модель.
8) Короткие формулы для ориентира
- Уравнение с сухим трением (Coulomb): $m\ddot{x}+\mu mg\mathrm{sgn}(\dot{x})+kx=0$.
- Квадратичная аэродинамика: $F_d=\frac{1}{2}\rho C_{d}Av|v|$.
- Zener-параметр (термоупругие потери): $Q^{-1}(\omega )=\Delta \frac{\omega \tau }{1+(\omega \tau {)}^2}$.
Вывод: суммарное затухание — суперпозиция механизмов; выбор модели зависит от доминирующего механизма (геометрия, частота, среда, масштаб). Для точного предсказания — измеряют $Q$ или делают частотные измерения потерь и подбирают комбинацию моделей (комплексный модуль + аэродинамические силы + контактные/поверхностные потери).