Коротко и по сути.
Почему поле внутри идеального (бесконечного, плотновитого) соленоида однородно
- У идеального соленоида имеется цилиндрическая симметрия и продольная трансляционная симметрия (длина → ∞). По закону Ампера для прямоугольного амперова контура, часть контура внутри дает вклад $B\ell$, а вне соленоида вклад пренебрежимо мал (вне поля сильно компенсируется из‑за симметрии). Отсюда для вакуума:
$$B={\mu }_{0}nI,$$ где $n=N/L$ — число витков на единицу длины, $I$ — ток. Поле направлено вдоль оси, не зависит от координат вдоль оси и радиально внутри цилиндра — поэтому однородно.
Пограничные эффекты у тороида и у конечного соленоида
- Тороид (замкнутый виток в форме кольца): контур Ампера по окружности радиуса $r$ охватывает суммарный ток $NI$, поэтому внутри кольцевого канала (при плотной намотке)
$$B_{\varphi }(r)=\frac{{\mu }_{0}NI}{2\pi r},a<r<b,$$ где $a,b$ — внутр./внеш. радиусы намотки. Вне тороида идеализированное поле равно нулю. Пограничный эффект: при конечной ширине поперечного сечения поле меняется по радиусу; если средний радиус $R$≫поперечный размер, то $B$ почти одинаково по сечению и можно взять $r\approx R$.
- Конечный соленоид: на оси поле рассчитывается по Биот‑Савару (или сумме вкладов краёв). Для соленоида длины $L$, радиуса $a$, с плотностью витков $n$, поле на оси в точке $z$ (центр в $z=0$):
$$B_z(z)=\frac{{\mu }_{0}nI}{2}\left(\frac{z+L/2}{\sqrt{a^2+(z+L/2{)}^2}}-\frac{z-L/2}{\sqrt{a^2+(z-L/2{)}^2}}\right).$$ На концах и вне соленоида наблюдаются «выпячивания» силовых линий (fringing) — поле убывает и становится неоднородным. При $L\to \infty$ выражение сводится к $B={\mu }_{0}nI$.
Какие приближения допустимы при расчёте реального устройства
- Непрерывная плотность витков: если число витков велико и шаг намотки мал, можно заменять дискретные витки равномерным токовым слоем (токовая плотность $J_{\varphi }$ или линейная $nI$).
- Геометрические приближения:
- Для оценки центрального поля конечного соленоида достаточно, если $L\gtrsim 4÷10a$ (длина несколько раз больше радиуса) — тогда середина близка к однородной в пределах нескольких процентов.
- Для тороида поле почти однородно по сечению, если средний радиус $R\gg$ поперечный размер (например $R\gtrsim 5$ поперечного радиуса).
- Материал сердечника: можно учитывать простым множителем $\mu ={\mu }_0{\mu }_r$ при малых полях и линейной области; при больших полях учитывают насыщение и нелинейную В‑H характеристику.
- Дискретность витков, толщина провода, щели между слоями, и зазоры в сердечнике приводят к утечкам поля; если нужна точность лучше нескольких процентов, эти эффекты нельзя игнорировать.
- Частотные эффекты: при переменном токе учитывать скин‑эффект и проксимити, для высоких частот приближения статического поля не годятся.
Рекомендации для практики
- Быстрая оценка: использовать формулы выше с критериями $L/a$ и $R/\text{(поперечное)}$ для оценивания однородности.
- Для точных расчетов: суммирование поля от каждого витка по закону Биот‑Савара или моделирование методом конечных элементов (FEM), особенно при наличии сердечника, зазоров или сложной геометрии.
Если нужно, могу дать конкретную оценку неоднородности для ваших размеров (укажите $a,L,N,R$ и материал).