Для определения времени, за которое ток в цепи достигнет значения, равного половине установившего значения, можно воспользоваться формулой для заряда индуктивности:

Q = L * I

где Q - заряд индуктивности, L - индуктивность, I - ток.

Известно, что в начальный момент времени ток в цепи равен нулю, т.е. Q = 0. Для достижения половины установившего значения тока нужно, чтобы заряд индуктивности стал равен половине от максимального значения:

Q_max = L * I_max

Q/2 = L * I/2

Из формулы для тока в цепи:
U = R * I
I = U / R

где U - напряжение, R - сопротивление.

Также известно, что установившееся значение тока в цепи достигается при открытии ключа, следовательно, напряжение на клеммах батареи равно напряжению на лампочке номиналом 100 Вт (100 В) и суммарное сопротивление цепи равно сумме сопротивлений лампочек:

R = R_1 + R_2 = U^2 / P_1 + U^2 / P_2

R = 100^2 / 50 + 100^2 / 100 = 200 Ом

Теперь можем выразить ток:
I = U / R = 100 / 200 = 0.5 A

Теперь можем выразить индуктивность:
Q = L I_max
0.5 = 2 I_max
I_max = 0.25 A

Таким образом, ток в цепи достигнет значения в половину от установившегося значения за время, необходимое для накопления половины от заряда индуктивности:

Q/2 = L I_max t
0.25 = 2 0.25 t
0.25 = 0.5 * t
t = 0.5 секунды

Ответ: время, за которое ток в цепи достигнет значения, равного половине установившего значения, равно 0.5 секунды.