Обозначим массу кувшина с водой до добавления камня как $m_1$, массу кувшина с водой и добавленным камнем как $m_2$, массу воды, добавленной в правый кувшин, как $m_3$ и массу гири как $m_4$. Также обозначим объем воды в кувшине до добавления камня как $V$.

Масса кувшина с водой и добавленным камнем после уравновешивания весов равна сумме масс кувшина и воды до добавления камня и массе камня:
$$m_2=m_1+m_4$$ Известно также, что объем воды в правом кувшине после добавления воды и гири равен объему воды до добавления камня:
$$V+m_3=V$$ Отсюда получаем, что масса воды, добавленной в правый кувшин равна массе гири:
$$m_3=m_4$$

Так как объем кувшина равен объему воды, добавленной в правый кувшин, то мы можем записать, что
$${\rho }_k\cdot V=m_3$$ где $rh{o}_k$ - плотность камня.

После добавления камня в левый кувшин и уравновешивания весов мы знаем, что уровни воды в обоих кувшинах сравнялись. Таким образом, разность масс воды в кувшинах равна массе камня:
$$m_1-m_3=m_4$$

Подставляем найденные выражения для $m_3$ и $m_4$:
$$m_1-{\rho }_k\cdot V=m_4$$ $$m_1={\rho }_k\cdot V+m_1-m_4$$

После уравновешивания весов уровни воды в обоих кувшинах опять сравнились, поэтому разность масс воды в кувшинах равна массе добавленной воды:
$$m_1-m_2=m_3$$ $$m_1-(m_1+m_4)=m_3$$ $$m_1-m_1-m_4=m_3$$ $$-m_4=m_3$$

Мы уже знаем, что $m_3=m_4$, значит:
$$-m_4=m_4$$ $$m_4=0$$

Это означает, что камень не оказал никакого воздействия на уровень воды в кувшине, следовательно, плотность камня равна нулю.