Для определения периода колебаний груза необходимо рассмотреть уравнения движения системы.

Обозначим через x(t) отклонение груза от положения равновесия в момент времени t. Тогда для первой пружины справедлив закон Гука:

k1(x+a)=mg,

где a - начальное растяжение пружины, при этом Fпружина = k1x1,

а для второй пружины:

k2(x-b)=mg,

где b - начальное сжатие пружины, а Fпружина = k2x2.

Из закона сохранения энергии:

m(\ddot{x})= -k1x1 - k2x2,

где (\ddot{x}) - ускорение груза.

Подставив Fпружина и выполнив замену системы координат, есть стандартная задача об одномерных колебаниях, решаемая методом замороженных координат.

Итак, для периода колебаний получаем:

T=2π(\sqrt{\frac{m}{k_{эфф}}}),

где kэфф = k1k2 (k1+k2) - комбинированная жесткость системы.

Для нахождения амплитуды колебаний можно воспользоваться энергией системы. Из закона сохранения энергии:

E = 1/2m(\dot{x}^2) + 1/2k1x1^2 + 1/2k2x2^2 = mgx + const.

При смещении груза на Δx и отпускании его, изменяется и кинетическая энергия системы:

1/2m(\dot{x}^2) = 0, E = 1/2(k1Δx^2 + k2Δx^2) + mgh,

где h - высота подъема груза.

Таким образом, амплитуда колебаний будет:

A = Δx + h.