Для нахождения зависимости угловой скорости $(\omega )$, линейной скорости $(v)$ и углового ускорения $(\epsilon )$ от времени $(t)$ можно воспользоваться следующими формулами:

Угловая скорость $(\omega )$ определяется как производная угла поворота $(\varphi )$ по времени $(t)$:

$$\omega =\frac{d\varphi }{dt}$$

Таким образом, для данного уравнения угла поворота $\varphi (t)=4+2t-t^2$ угловая скорость будет равна:

$$\omega =\frac{d(4+2t-t^2)}{dt}=2-2t$$

Линейная скорость $(v)$ точки на ободе колеса определяется как произведение радиуса колеса $(r)$ на угловую скорость $(\omega )$:

$$v=r\cdot \omega$$

Подставив значения радиуса колеса $(r=10см=0.1м)$ и угловой скорости $\omega =2-2t$, получим зависимость линейной скорости от времени:

$$v=0.1\cdot (2-2t)=0.2-0.2t$$

Угловое ускорение $(\epsilon )$ определяется как производная угловой скорости $(\omega )$ по времени $(t)$:

$$\epsilon =\frac{d\omega }{dt}$$

Дифференцируем уравнение угловой скорости $\omega =2-2t$ и получим угловое ускорение:

$$\epsilon =\frac{d(2-2t)}{dt}=-2$$

Таким образом, мы получили зависимости угловой скорости $(\omega =2-2t)$, линейной скорости $(v=0.2-0.2t)$ и углового ускорения $(\epsilon =-2)$ от времени $(t)$ для точек на ободе колеса.