Кратко — выбор проекции определяет, какие величины сохраняются и какие искажаются, поэтому при кадастре (право на землю, учет площадей, съёмка границ) нужно сознательно жертвовать одними свойствами ради других.
1) Как проекция влияет на площади и расстояния (основные принципы)
- В проекциях конформных (например, Transverse Mercator — ТМ) сохраняются углы и локальные формы, локальный линейный масштаб одинаков в любых направлениях: масштабный коэффициент $k$. Линейные расстояния и площади искажаются приблизительно как
$$\text{длина на сетке}\approx k\cdot \text{наземная длина},\text{площадь на сетке}\approx k^2\cdot \text{наземная площадь}.$$ - В равновеликих (equal‑area, напр. Albers, Lambert azimuthal equal‑area) сохраняется площадь: произведение масштабов по взаимно перпендикулярным направлениям равно $1$, но формы и углы искажаются.
- В эквидистантных сохраняются расстояния только относительно определённых линий/точек, но не везде.
- Кроме того, в любой проекции есть сеточная схождение/расходимость меридианов (разница между истинным/геодезическим азимутом и сеточным азимутом), что важно для привязки направлений при съёмке.
2) Особенности для страны, вытянутой с севера на юг
- Для протяжённости вдоль меридианов лучше подходит Transverse Mercator (цилиндр, повернутый на $90^{\circ }$): удары искажения минимальны вдоль узкой продолговатой зоны по долготе. Часто используют зонную систему (UTM или национальные TM‑зоны).
- Если ось страны сильно наклонена от меридианов — рассмотреть Oblique Mercator, который ориентируется вдоль оси страны.
- Lambert Conformal Conic лучше для протяжённых в широту (вост‑запад) территорий, поэтому для N–S вытянутой страны обычно менее оптимален.
3) Критерии выбора проекции для официального кадстра
- Точность площадей: если юридически важна площадь (налоги, сделки), предпочитают:
- хранить границы в геодезических координатах (эллипсоид) и вычислять «наземную» (геодезическую) площадь на эллипсоиде (алгоритмы Винсента/Карни), либо
- использовать равновеликие проекции для официальной фиксируемой площади. Альтернатива — конформная проекция плюс корректировка площадей по $k^2$.
- Точность расстояний и направлений: для измерений и съёмки важна малая относительная ошибка масштаба $\epsilon =|k-1|$. Для кадастра желательно удерживать $\epsilon \lesssim 10^{-4}$ (порядок $0,01\%$) или лучше, в зависимости от стандартов (высокоточный кадастр может требовать $\epsilon \le 5\cdot 10^{-5}$).
- Однородность системы: единая национальная зона проста, но может давать большие искажения на концах страны; многозонная система снижает искажения, но усложняет обработку и хранение переходов между зонами.
- Совместимость с ГНСС: проекция должна иметь хорошо документированные параметры и стандартизованные трансформации между геодезическими координатами и проекцией.
- Практика съёмки: размеры типичных участков и ожидаемая плотность съёмок — если участки малы (несколько гектаров), локальные искажения важнее, значит нужны зоны/параметры с малой $\epsilon$.
- Юридические и эксплуатационные требования: закон о кадастре, требования к оформлению, совместимость с соседними странами и системами.
4) Компромиссы и практические решения
- Секантная ТМ с подобранным фактором центра $k_0<1$ (например UTM использует $k_0=0,9996$) распределяет искажения по ширине зоны и уменьшает максимум относительного искажения. Значение $k_0$ подбирают так, чтобы максимум $|k-1|$ был в пределах требуемой точности.
- Многозонная ТМ (национальные полосы) уменьшает искажения, но требует правил перехода (как хранить границы, пересекающие зоны).
- Если критична именно площадь, лучше:
- хранить исходные геодезические координаты и рассчитывать площадь на эллипсоиде (рекомендуемый современный подход), либо
- выбрать равновеликию проекцию и использовать её для официальных площадей, документируя методику.
- Угловая точность и съёмочные работы обычно выигрывают от конформной проекции (ТМ или Oblique Mercator); для актов права важна воспроизводимость и однозначность метода вычисления площади.
5) Практическая рекомендация (схематично)
- Для N–S вытянутой страны: рассмотреть Transverse Mercator (национальная зона или несколько зон) либо Oblique Mercator, если ось сильно наклонена.
- Установить максимально допустимую относительную ошибку масштаба ${\epsilon }_{\max }$ (например ${\epsilon }_{\max }=5\cdot 10^{-5}$ — $10^{-4}$) и подобрать ширину/параметры зон так, чтобы $|k-1|\le {\epsilon }_{\max }$ по всей территории.
- Официальная площадь: вычислять на эллипсоиде геодезическими алгоритмами и/или документировать использование равновеликой проекции; хранить и геодезические координаты, и проектированные.
- Документировать параметры проекции, значения $k_0$, фальш‑восточные/северные смещения, эллипсоид и точность преобразований; обеспечивать расчёт сеточной схождения (grid convergence) для привязки азимутов.
Вывод: для кадастра страны, вытянутой с севера на юг, чаще всего оптимально использовать Transverse Mercator (или Oblique Mercator при наклонной оси) с зоновой организацией и контролем предельной относительной ошибки масштаба $\epsilon$. Одновременно для юридически значимых площадей применять вычисление площади на эллипсоиде или равновеликую проекцию и чётко документировать методику и допуски.