Возможные причины расхождений
- Различие базовых датумов/эллипсоидов: старые триангуляции могли быть привязаны к локальному (плоскому) сетевому или к другому эллипсоиду/датуму (напр., Пулково, Krassovsky) — это даёт систематический сдвиг и/или вращение и масштаб.
- Геоид vs эллипсоид — высоты: старые отметки часто в ортометрических $H$, GNSS даёт эллипсоидные $h$; связь $h=H+N$ ( $N$ — геоидное подъёмание).
- Проекции/плоские сетки: разная картографическая проекция (меркатор, Гаусс—Крюгер, UTM) и параметры меркатора дают нелинейные искажения.
- Временные тектонические смещения и дрейф плит: координаты меняются со временем; требуется учёт эпохи пунктов и скоростей $V$: $X(t)=X(t_0)+V(t-t_0)$.
- Инструментальные и методические ошибки XIX в.: уголовые/дальномерные ошибки, ошибки азимутов, рефракция, невыровненность опорных вех, неправильная редукция высот и т.д.
- Смещение/утрата/неоднозначность пунктов на местности (точка перенесена, ориентиры изменились).
- Систематические масштабы/деформации карты при печати/перерисовке сканов.
Как привести старые данные в современную систему — пошагово
1. Соберите метаданые. Найдите: используемый датум/эллипсоид, проекцию и параметры сетки, эпоху координат, высотную систему (орты/референсный уровень), описания пунктов, измерительные журналы.
2. Определите тип трансформации. В зависимости от ситуации:
- Планарная локальная трансформация (если замеры в плоскости и нет вертикального учёта) — 2D similarity (сдвиг+вращение+масштаб):
$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=s(x\cos \alpha -y\sin \alpha )+t_x,\\ y^{\prime }=s(x\sin \alpha +y\cos \alpha )+t_y,\end{array}$$ где $s$ — масштабный множитель, $\alpha$ — угол, $t_x,t_y$ — трансляции.
- 3D Helmert (7 параметров) — если нужны переход между эллипсоидными системами и учёт высот/наклонов:
$${\mathbf{X}}^{\prime }=(1+\mu )R(\omega ,\varphi ,\kappa )\mathbf{X}+\mathbf{T},$$ где $\mu$ — относительный масштаб, $R$ — матрица малых поворотов, $\mathbf{T}$ — вектор сдвига.
- Аффинная/более сложная (ленточные, локальные деформации) — если имеются нелинейные искажения.
3. Соберите контрольные совпадающие пункты (GCP). Чем больше и равномернее распределены, тем лучше; минимум: для 2D-similarity — 2–3 ненулевые точки (но статистически надёжно — >6).
4. Оцените и вычислите параметры трансформации методом наименьших квадратов, проверьте остатки (RMS) и наличие систематики (смещение, вращение, масштаб, нелинейности).
5. Вертикальная привязка: переведите старые ортометрические высоты в эллипсоидные или наоборот, используя модель геоида:
$$h=H+N\text{или}H=h-N,$$ где $N$ — значение геоидного подъёмания в точке (получается из модели Geoid/EGM/GGMs или национальной геоидной модели). Если геоиды разные — учтите разницу.\
6. Учёт эпохи и тектоники: если эпохи измерений значительно различаются, примените вектор скоростей:
$$\mathbf{X}(t_0)=\mathbf{X}(t)-\mathbf{V}(t-t_0).$$ 7. Проверка качества: после трансформации проверьте остатки по контрольным точкам, постройте карты остатков, убедитесь, что RMS в пределах ожидаемых точностных характеристик (напр., десятки сантиметров для старых сетей — зависит от качества).
8. Инструменты: PROJ/GDAL (cs2cs, proj), pyproj, Helmert-реализации в geodetic/photogrammetry libs, QGIS, специальные скрипты LS-решения (numpy/scipy). Для вертикалей — модели геоида (EGM2008, национальные).
Практические замечания
- Если остатки показывают почти чистый сдвиг и поворот — 2D similarity обычно достаточна. Если есть систематический масштаб — добавить масштаб. Если остатки нелинейны — нужен локальный полином/кубический ремэппинг или рекалибровка по большему пулу GCP.
- Если невозможно однозначно идентифицировать точки — документируйте неопределённость и используйте картометрические методы перекрытия (извлечение признаков на старых картах и их сопоставление с современными изображениями).
- Сохраняйте все промежуточные результаты и погрешности, отметьте исходную эпоху и точность.
Коротко: установите исходный датум/проекцию/эпоху; найдите достаточное число совпадающих пунктов; выберите модель трансформации (2D-similarity или 3D-Helmert; при необходимости более сложные полиномы); вычислите параметры по МНК; скорректируйте высоты через геоид; учтите тектонические сдвиги; оцените остатки и погрешности.