Для решения этой задачи нам необходимо найти высоту конуса. Обозначим радиус конуса как R и радиус вписанного в конус шара как r.

Сначала найдем высоту конуса. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, у которого гипотенуза равна радиусу конуса, а катеты равны радиусу вписанного шара и высоте конуса, имеем:

R^2 = (r + h)^2 + r^2

Подставляем известные значения:

3^2 = (sqrt(3) + h)^2 + sqrt(3)^2
9 = (sqrt(3) + h)^2 + 3
(sqrt(3) + h)^2 = 6

$h = √6 - √3$

Теперь найдем угол при вершине осевого сечения конуса. Обозначим этот угол как α.

cos(α) = r / R = sqrt(3) / 3

Отсюда получаем:

α = arccos(sqrt(3) / 3) ≈ 30°

Ответ: угол при вершине осевого сечения конуса равен примерно 30 градусам.