Для нахождения высоты равностороннего треугольника, в который вписана окружность с радиусом (r), воспользуемся следующими формулами.

Сначала найдем сторону равностороннего треугольника по радиусу вписанной окружности (r). Известно, что радиус вписанной окружности для равностороннего треугольника выражается через длину стороны (a) следующим образом:

[
r = \frac{a \sqrt{3}}{6}
]

Подставим известное значение радиуса (r = 9):

[
9 = \frac{a \sqrt{3}}{6}
]

Умножим обе стороны уравнения на 6:

[
54 = a \sqrt{3}
]

Теперь найдём сторону (a):

[
a = \frac{54}{\sqrt{3}} = 54 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 18\sqrt{3}
]

Теперь найдем высоту (h) равностороннего треугольника. Высота (h) равностороннего треугольника выражается через сторону (a) следующим образом:

[
h = \frac{a \sqrt{3}}{2}
]

Подставим найденное значение стороны (a = 18\sqrt{3}):

[
h = \frac{18\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{18 \cdot 3}{2} = \frac{54}{2} = 27
]

Итак, высота равностороннего треугольника равна (27).