Кратко — основные свойства и правила, которые позволяют упрощать выражения и решать уравнения с логарифмами:
- Определение и область: логарифм определён только для положительных аргументов: $x>0$. Это важно при проверке решений.
- Обратность показательной функции:
$$b^{{\log }_{b}x}=x,{\log }_b(b^y)=y.$$ Позволяет переходить между степенью и логарифмом для решения уравнений.
- Произведение → сумма:
$${\log }_b(xy)={\log }_{b}x+{\log }_{b}y.$$ Упрощает произведения в аргументах логарифмов (сведение к сумме).
- Частное → разность:
$${\log }_b\left(\frac{x}{y}\right)={\log }_{b}x-{\log }_{b}y.$$ Позволяет разложить дробные аргументы на разность логарифмов.
- Степень → множитель:
$${\log }_b(x^r)=r{\log }_{b}x.$$ Преобразует степень аргумента в множитель, полезно для выноса показателей и решения уравнений.
- Формула смены основания:
$${\log }_{b}x=\frac{{\log }_{a}x}{{\log }_{a}b}.$$ Позволяет привести логарифмы к одному основанию для сравнения или сложения.
- Значения для единицы и основания:
$${\log }_{b}1=0,{\log }_{b}b=1.$$ Упрощают выражения при наличии $1$ или основания в аргументе.
- Свойство равенства логарифмов:
$${\log }_{b}x={\log }_{b}y⟹x=y(\text{при}x>0,y>0).$$ Используется для свода логарифмических уравнений к алгебраическим.
- Монотонность (сравнения):
если $b>1$, то ${\log }_{b}x$ — возрастающая функция: ${\log }_{b}x>{\log }_{b}y⟺x>y$;
если $0<b<1$, то она убывает: неравенства меняют направление. Помогает решать неравенства с логарифмами.
- Трюки для упрощения/решения:
- Свести сумму логарифмов в логарифм произведения и наоборот.
- Вынести показатель как множитель, чтобы получить линейное уравнение по логарифму.
- Применить смену основания, чтобы все логарифмы были одного основания.
- Подстановкой $t={\log }_{b}x$ перейти к более простому уравнению по $t$.
Эти свойства в совокупности дают инструменты для приведения сложных логарифмических выражений к простым алгебраическим формам и для решения уравнений/неравенств.