Площадь боковой поверхности правильной усеченной четырёхугольной пирамиды равна сумме площадей всех боковых четырёхугольных трапеций, образованных боковыми и основаниями.

Для этого найдем высоту бокового треугольника, содержащего основание и апофему: (h = \sqrt{12^2 - 5^2} = \sqrt{144-25} = \sqrt{119}) дм

Теперь можем найти площадь каждой боковой трапеции ((S_{trapezoid})):

(S_{trapezoid} = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{9+20}{2} \cdot \sqrt{119} = 14.5 \cdot \sqrt{119}) кв. дм

Поскольку у пирамиды 4 боковые трапеции, то площадь боковой поверхности ((S_b)):

(Sb = 4 \cdot S{trapezoid} = 4 \cdot 14.5 \cdot \sqrt{119} = 58 \cdot \sqrt{119}) кв. дм

Площадь верхнего основания ((S_1)) равна (9^2 = 81) кв. дм, нижнего ((S_2)) - (20^2 = 400) кв. дм.

Тогда полная площадь поверхности ((S)):

(S = S_b + S_1 + S_2 = 58 \cdot \sqrt{119} + 81 + 400 = 481 + 58 \cdot \sqrt{119}) кв. дм

Итак, площадь боковой поверхности равна (58 \cdot \sqrt{119}) кв. дм, а полная площадь поверхности равна (481 + 58 \cdot \sqrt{119}) кв. дм.