Для начала найдем высоту боковой грани пирамиды, используя теорему Пифагора:

Пусть сторона квадрата основания пирамиды равна $a$.
Тогда из условия задачи $a\sqrt{2}=5$ $потеоремеПифагора$, откуда $a=\frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$.

Далее, можно найти высоту пирамиды, используя треугольник, образованный боковым ребром, высотой и половиной стороны основания:
$${\text{Боковое ребро}}^2={\text{Высота}}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2$$ $$6^2={\text{Высота}}^2+{\left(\frac{5\sqrt{2}}{4}\right)}^2$$ $$36={\text{Высота}}^2+\frac{50}{4}$$ $$36={\text{Высота}}^2+\frac{25}{2}$$ $${\text{Высота}}^2=36-\frac{25}{2}=\frac{72-25}{2}=\frac{47}{2}$$ $$\text{Высота}=\sqrt{\frac{47}{2}}=\frac{\sqrt{94}}{2}$$

Теперь можем найти площадь боковой поверхности:
$$\text{Площадь боковой поверхности}=\frac{1}{2}\times \text{Периметр основания}\times \text{Боковая высота}$$ $$\text{Площадь боковой поверхности}=\frac{1}{2}\times 4a\times \text{Высота}=2a\times \text{Высота}=2\times \frac{5\sqrt{2}}{2}\times \frac{\sqrt{94}}{2}=\frac{5\sqrt{2}\times \sqrt{94}}{2}=\frac{5\sqrt{188}}{2}=\frac{5\sqrt{47}}{2}{\text{см}}^2$$

Наконец, найдем объем прямоугольной пирамиды:
$$\text{Объем}=\frac{1}{3}\times \text{Площадь основания}\times \text{Высота}=\frac{1}{3}\times a^2\times \text{Высота}=\frac{1}{3}\times {\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)}^2\times \frac{\sqrt{94}}{2}=\frac{1}{3}\times \frac{50}{4}\times \frac{\sqrt{94}}{2}=\frac{50\sqrt{94}}{24}{\text{см}}^3$$

Итак, площадь боковой поверхности пирамиды равна $\frac{5\sqrt{47}}{2}{\text{см}}^2$, а объем пирамиды составляет $\frac{50\sqrt{94}}{24}{\text{см}}^3$.