Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о вписанном и описанном угле треугольника.

В правильном шестиугольнике все углы равны 120 градусов, поэтому в центре окружности, вписанной в шестиугольник, угол равен 60 градусов.

Так как правильный треугольник описан вокруг этой окружности, то каждый угол треугольника равен половине центрального угла, т.е. 30 градусов.

Таким образом, мы получаем, что в описанном правильном треугольнике углы равны 30, 60 и 90 градусов, что свидетельствует о его прямоугольности.

Из условия задачи известно, что сторона вписанного шестиугольника равна 5 √3, следовательно, радиус окружности равен половине стороны, т.е. 5 √3 / 2 = 2,5 * √3.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника со сторонами a, b, c:
a^2 + b^2 = c^2.

Где a = 2,5 * √3, b = 5, c - искомая сторона треугольника.

Подставляем известные значения и находим сторону:
(2,5 √3)^2 + 5^2 = c^2
6,25 3 + 25 = c^2
18,75 + 25 = c^2
43,75 = c^2
c = √43,75 ≈ 6,61.

Ответ: сторона правильного треугольника, описанного около вписанной окружности в правильный шестиугольник, равна около 6,61 см.