Для начала найдем длины отрезков AM и MD1.
Поскольку A1M:MD1=1:3, то AM = $1/4$AD1 = $1/4$sqrt$2$.

Теперь посмотрим на плоскость $BB1D1D$. Она проходит через точки B, B1, D и D1, и ее направляющий вектор можно найти как векторное произведение векторов BB1 и BD.
BB1 = B1 - B = $1-0$i + $1-1$j + $0-0$k = i, а
BD = D1 - B = $1-0$i + $1-1$j + $1-0$k = i + k.

Теперь находим векторное произведение:
n = BB1 x BD = i x $i+k$ = $0-0$ i - $0-1$ j + $1-0$ k = -j + k.

Теперь найдем угол между вектором AM и вектором n по формуле синуса угла между векторами:
sin$\varphi$ = |n x AM| / $|n|<em>|AM|$ = |$-j+k$ x $(1/4)sqrt(2)i$| / $sqrt(2)</em>sqrt(2+1)/4$ = $(1/4)sqrt(2)$/sqrt$2$sqrt$2+1$/4 = 1/4 sqrt$3$ sin$\varphi$ = sqrt$3$ / 4

Итак, синус угла ϕ между прямой AM и диагональной плоскостью $BB1D1D$ равен sqrt$3$/4.