Для начала найдем боковую поверхность пирамиды.
Боковая поверхность треугольной пирамиды вычисляется по формуле: Sб = 0.5 П P l,
где П - периметр основания, P = 2 √3 см,
l - апофема треугольной пирамиды.

Из условия задачи известно, что Sб = 16√3 см², P = 4√3 см², тогда:
16√3 = 0.5 4√3 l,
16√3 = 2 4√3 l,
16√3 = 8√3 * l,
l = 16 / 8 = 2 см.

Теперь найдем апофему пирамиды, используя формулу для площади боковой поверхности пирамиды:
Sб = 0.5 П P l,
Sб = 0.5 4 √3 2,
Sб = 4 * 2 = 8 см².

Теперь найдем плоский угол при вершине пирамиды, который является вершинным углом треугольника основания:
cos(α) = 1 / cos(угол при вершине),
cos(α) = 1 / cos(30°) = 1 / √3,
α = arccos(1 / √3) = arccos(√3 / 3) ≈ 35.26°.

Итак, апофема пирамиды равна 2 см, а плоский угол при вершине пирамиды составляет около 35.26°.

Ниже приведен чертеж треугольной пирамиды для наглядности:

A
/|\
/ | \
/ | \
/___|___\
B O C
∙

Где ABC - основание треугольной пирамиды, O - вершина пирамиды, AO - апофема, угол AOC - плоский угол при вершине пирамиды.