Для нахождения объема правильной шестиугольной пирамиды воспользуемся формулой: V = (1/3) S_osnov H, где S_osnov - площадь основания, H - высота пирамиды.

Сначала найдем площадь основания шестиугольной пирамиды. Площадь правильного шестиугольника равна: S_osnov = (3√3 * a^2) / 2, где a - сторона шестиугольника.

Так как у нас сторона основания равна 4, подставим a = 4 в формулу и получим: S_osnov = (3√3 * 4^2) / 2 = 24√3.

Для нахождения высоты пирамиды можно разделить пирамиду на прямоугольный треугольник и прямоугольный треугольник, где один из катетов равен радиусу описанной окружности правильного шестиугольника r, а другой катет h (высота пирамиды). Так как угол между боковой гранью и основанием равен 45 градусам, то это означает, что мы имеем равнобедренный прямоугольный треугольник с основанием r и катетом равным r. Используем тригонометрию для нахождения высоты:
tg(45) = h / r
1 = h / r
r = h

Теперь можем использовать сторону основания правильного шестиугольника как радиус описанной окружности и как высоту пирамиды: r = 4.

Подставляем данные в формулу для объема: V = (1/3) 24√3 4 = 32√3.

Ответ: объем пирамиды равен 32√3.