Для начала найдем высоту пирамиды.

Поскольку боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под углом 45°, то получаем прямоугольный треугольник с катетами, равными апофеме и высоте пирамиды, и гипотенузой, равной боковому ребру.

Таким образом, по теореме Пифагора:

(apofema)^2 + (высота)^2 = (bokovoe)^2,

(2√2)^2 + (высота)^2 = (bokovoe)^2,

4*2 + (высота)^2 = (bokovoe)^2,

8 + (высота)^2 = (bokovoe)^2.

Рассмотрим также верхний треугольник, образованный плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и середину одной из сторон основания. Этот треугольник также будет прямоугольным с катетами, равными апофеме и половине стороны основания, и гипотенузой, равной bokovoe.

Поэтому имеем:

(apofema)^2 + (storona/2)^2 = (bokovoe)^2,

(2√2)^2 + (storona/2)^2 = (bokovoe)^2,

4*2 + (storona/2)^2 = (bokovoe)^2,

8 + storona^2/4 = (bokovoe)^2.

Теперь мы имеем два уравнения с двумя неизвестными — apofemа и высота. Решая их, найдем apofemу или высоту.

Затем для нахождения объема правильной шестиугольной пирамиды воспользуемся формулой:

V = (1/3)S_оснh,

где S_осн - площадь основания пирамиды, равная 6storona^2/(4tg(π/6)), h - высота пирамиды.

Подставляем найденные значения apofemy и высоты в формулу объема, и получаем итоговый ответ.