Известно, что четырехугольник ABCD – вписанный, т.е. его противоположные углы дополнительны (сумма углов противоположных сторон равна 180 градусам): ∠A + ∠С = 180 и ∠B + ∠D = 180.

Также дано, что окружности, вписанные в треугольники АСD и АСВ касаются, следовательно, углы, составленные хордой и радиусом противоположными к точке касания, равны:

∠DAC = ∠CAD = ∠CAB
∠ACB = ∠CBA

Но в то же время эти же углы также являются углами при основании треугольника, образованных в равнобедренных треугольниках АСВ и АСД, следовательно:

∠BCA = ∠BAD
∠CBA = ∠DAC

Таким образом, углы напротив равны. А значит, четырехугольник ABCD описанный вокруг окружности.