Для решения этой задачи нам понадобится формула для радиуса вписанной окружности в треугольнике: r = (p - a) * tg(α/2), где r - радиус вписанной окружности, p - полупериметр треугольника, a - сторона треугольника против угла α.

Дано:
AC = 18
Угол B = 2π/3

Для начала найдем стороны треугольника ABC. Известно, что угол A + угол B + угол C = π, а угол B = 2π/3. Таким образом, угол A + угол C = π - 2π/3 = π/3.

Так как сумма углов в треугольнике равна π, угол C = π - (π/3 + 2π/3) = π/3.

Теперь посмотрим на треугольнике ACB. Из теоремы синусов имеем: AB / sin(π/3) = AC / sin(2π/3).

AB / sin(π/3) = 18 / sin(2π/3),
AB / √3/2 = 18 / √3/2,
AB = 18.

Таким образом, AB = BC = AC = 18.

Теперь найдем полупериметр треугольника: p = (AB + BC + AC) / 2 = (18 + 18 + 18) / 2 = 27.

Теперь найдем радиус вписанной окружности через формулу, с использованием угла α/2 = π/6:

r = (27 - 18) tg(π/6) = 9 tg(π/6) = 9 √3 / 3 = 3 √3.

Итак, радиус окружности равен 3 * √3.