Пусть AK, BL, CN – биссектрисы треугольника ABC, I – точка их пересечения. Известно,что отношения площадей треугольников BKN и CLK к площади треугольника ABC равны,соответственно, 27:65 и 8:65, а отношение IK:AI равно 6:13. Найдите отношениеплощади треугольника ANL к площади треугольника ABС.
Пусть AK, BL, CN – биссектрисы треугольника ABC, I – точка их пересечения. Известно,что отношения площадей треугольников BKN и CLK к площади треугольника ABC равны,соответственно, 27:65 и 8:65, а отношение IK:AI равно 6:13. Найдите отношениеплощади треугольника ANL к площади треугольника ABС.
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Обозначим площади треугольников BKN, CLK, и ABC через S1, S2 и S3 соответственно.
Тогда имеем:
S1/S3 = 27/65
S2/S3 = 8/65
Так как AK и BL – биссектрисы треугольника ABC, то:
S1/S2 = AK/BL = AI/BI
Из условия IK:AI = 6:13 находим, что IB = 19/6 * AI.
Тогда AI = 65/S3, IB = 19S3/6, CI = 14S3/65.
Так как BCL и CLK – подобны, то:
S2/S3 = BL/CI
8/65 = BL * 65/14S3
BL = 8*14/65 = 1.76
AI = 65/S3 = 65 / (S3 - AI - BI) = 65 / (S3 - S1 - S3 19/6) = 65 / (S3 (1 - 19/6 - 1/76)) = 65 / (S3 * 7/48) = 390 / 7S3
Отсюда S3 = 390/7
ANL и ABL подобны, поэтому:
S_ANL / S1 = AL / BL
Найдем AL:
AL = AN + NL = AN + S1 / (AN / (AN + S1)) = AN + 65/27 / (AN / (AN + 65/27)) = AN + 65/27 / ((AN + 65/27 - AN) / AN) = AN + 65/27 * AN / (65/27) = 2AN
S_ANL / S1 = 2AN / 1.76 = 39.69/35.28 = 390/352.8 = 195/176
Таким образом, отношение площади треугольника ANL к площади треугольника ABC равно 195/176.