Пусть даны окружность с центром O и радиусом r, а также прямая l, пересекающая окружность в точке A, лежащей на окружности. Предположим, что прямая l и радиус AO взаимно перпендикулярны.

Так как радиус и касательная к окружности перпендикулярны в точке касания, нам нужно доказать, что прямая l является касательной к окружности.

Предположим, что прямая l не является касательной, тогда существует точка B на прямой l, такая что OB не является радиусом окружности. Обозначим точку пересечения прямой l и радиуса OB за C.

Так как радиус равен лучше, соединяющему его центр с точкой пересечения, треугольник OBC является прямоугольным.

Из условия мы знаем, что угол AOB = 90 градусов (так как радиус и прямая перпендикулярны). Таким образом, треугольник AOB также будет прямоугольным.

Тогда угол ABC также будет равен 90 градусам (поскольку дополнительный угол треугольника). Это означает, что точка B также лежит на окружности с центром O, что противоречит нашему изначальному предположению.

Следовательно, прямая l является касательной к окружности.