Так как PQ=PD=CD=12, то треугольник PDC является равносторонним треугольником.

Теперь рассмотрим треугольник PCQ.

Мы знаем, что CQ=4 и CD=12. Так как треугольник PDC равносторонний, то PD=PC=CD=12.

По теореме косинусов:

[\cos\angle PCQ = \frac{PC^2 + CQ^2 - PQ^2}{2 \cdot PC \cdot CQ}]

[\cos\angle PCQ = \frac{PC^2 + 4^2 - 12^2}{2 \cdot PC \cdot 4}]

[\cos\angle PCQ = \frac{PC^2 + 16 - 144}{8PC}]

[\cos\angle PCQ = \frac{PC^2 - 128}{8PC}]

Так как треугольник PDC равносторонний, то угол PCQ равен 60 градусов. Следовательно, (\cos{60^\circ} = \frac{1}{2}).

[\frac{1}{2} = \frac{PC^2 - 128}{8PC}]

Решив это уравнение, получим:

(8PC = PC^2 - 128)

(PC^2 - 8PC - 128 = 0)

((PC - 16)(PC + 8) = 0)

(PC = 16) или (PC = -8)

Так как длина отрезка не может быть отрицательной, то значит (PC = 16).

Итак, (CP = 16).