Поскольку точка K лежит на отрезке AC так, что AK:KC=1:3, то AK=AC/4 и KC=3*AC/4. Заметим, что прямая AC1D1 параллельна прямой AC, таким образом, BC1=BC=4√6 и AB1=AB=4.

Площадь S сечения параллелепипеда можно вычислить как произведение площади основания ABCD на высоту сечения, равную KK1 (где K1 - проекция точки K на плоскость ABCD). Так как KK1 является высотой прямоугольного треугольника KK1C, то применив теорему Пифагора:

KC = √(AK^2 + AC^2) = √(AC^2/16 + AC^2) = AC√(1+1/16) = AC√(17/16) = AC√17/4.

Таким образом, KK1=KK + KC = 3AC/4 + AC√17/4 = AC(3 + √17)/4.

Площадь S = KK1 BC = AC(3 + √17)/4 4√6 = AC√6 (3 + √17) = 4√6 √6 * (3 + √17) = 24(3 + √17).

Итак, S∙√2 = 24(3 + √17) * √2 = 48√2 + 24√34.