Для начала найдем векторы AB и AC:

AB = B - A = $3-0;4-1;2-2$ = $3;3;0$ AC = C - A = $2-0;1-1;-5-2$ = $2;0;-7$

Теперь найдем векторное произведение AB и AC, которое будет вектором нормали к плоскости треугольника ABC:

n = AB x AC = $3<em>0-0</em>0;-(3<em>7-0</em>2);3<em>0-3</em>2$ = $0;-21;-6$

Теперь найдем уравнение плоскости, проходящей через точку A и имеющей вектор нормали n:

0*$x-0$ - 21$y-1$ - 6$z-2$ = 0
-21y + 21 - 6z + 12 = 0
-21y - 6z + 33 = 0
21y + 6z - 33 = 0

Теперь найдем расстояние от точки H до плоскости, где H$x,y,z$ - это проекция точки C на плоскость ABC:

d = |211 + 6$-5$ - 33| / sqrt$21^2+6^2$ d = |21 - 30 - 33| / sqrt$441+36$ d = | - 42 | / sqrt$477$ d = 42 / sqrt$477$ d ≈ 1.94

Таким образом, длина высоты DH треугольника ABC равна приблизительно 1.94.