Обозначим вершину треугольника, прилегающую к углу при основании, как A, а середину основания как B. Опустим высоту из вершины A на основание BC и обозначим точку пересечения высоты с основанием как D. Также обозначим медиану из вершины A на сторону BC как E.

Так как треугольник равнобедренный, то медиана E также является биссектрисой угла при вершине A. А так как синус угла при основании равен 12/13, то мы можем сказать, что DE:DC = 12:13. Также AD:DB = 12:13.

Теперь заметим, что треугольники OKE и ADE подобны, так как у них соответственные углы равны (прямой угол в OK и KE, и равные углы в ADE). Из подобия треугольников мы можем записать пропорцию:

OK/OE = AD/AE.

Нам известно, что AD:DB = 12:13, поэтому AD/AE = 6/13.

Также радиус окружности и медиана треугольника вписаным в него равнобедренного также подобны. Поэтому OE:OM = 13:13, а значит OE = OM.

Таким образом, мы можем записать:

OK/OE = 6/13.

Так как OE = OM, то OK/OM = 6/13.

Из этого мы можем выразить OK = 6/13 * OM = 6.

Итак, длина отрезка OK равна 6.