Пусть вершина треугольника, из которой проведен перпендикуляр к диагонали, обозначается как точка А. Обозначим точки, в которых этот перпендикуляр пересекает диагональ, как В и С.

Согласно условию, отрезок ВА равен 2 см, а отрезок АС равен 8 см. Также известно, что треугольник прямоугольный.

Так как ВА и АС это высота и проекция диагонали соответственно, то ВАС является подобным другому прямоугольному треугольнику (назовем его VKM), где KM - прямая, параллельная диагонали, и расположенная таким образом, что делит ее на равные отрезки 2 и 8 см.

Из подобия ВАС и VKM можно сделать вывод, что треугольники ВАС и VKM одинаковы по форме и, следовательно, площади.

Так как равные стороны параллелограмма соотносятся как 2:8, то VKM это прямоугольный треугольник со сторонами 2k и 8k, где k - некоторая константа, определяемая нашей задачей.

Из квадрата гипотенузы прямоугольного треугольника равного сумме квадратов катетов (2k)^2 + (8k)^2 = 68k^2, следует, что k = 1.

Таким образом, VKM - это треугольник со сторонами 2 и 8 см, а его площадь равна 1/2 2 8 = 8 см^2.

Поэтому площадь прямоугольника равна площади VKM умноженной на 2: 8 * 2 = 16 см^2.