Так как отрезок ВВ1 перпендикулярен плоскости α, то точка В1 будет лежать на прямой АВ, а также на прямой, параллельной прямой АА1 и отстоящей от нее на расстоянии ВВ1 = 8 см.

Таким образом, получаем, что треугольники АВВ1 и АА1В1 подобны (по признаку угловой).

Отсюда получаем, что отношение сторон в этом треугольнике равно отношению соответствующих сторон более крупного треугольника:

( \frac{AV_1}{AA_1} = \frac{AB}{AV} )

( \frac{AV_1}{3} = \frac{13}{8} )

( AV_1 = \frac{3 \cdot 13}{8} = \frac{39}{8} = 4.875 )

Ответ: ( AV_1 = 4.875 ) см.