Для решения этой задачи мы можем использовать тригонометрический закон синусов.

Так как угол c прямой (равен 90 градусов), то гипотенуза ab будет соответствовать гипотенузе треугольника и отрезку ac.

Мы знаем значение тангенса угла c: tg(c) = 2 * sqrt(10) / 3.

Так как tg(c) = sin(c) / cos(c), где sin(c) и cos(c) - синус и косинус угла c, то мы можем выразить sin(c) и cos(c) через tg(c):
sin(c) = tg(c) cos(c) = 2 sqrt(10) / 3 cos(c),
cos(c) = sqrt(1 / (1 + tg^2(c))) = sqrt(1 / (1 + 4 10 / 9)) = sqrt(9 / 49) = 3 / 7.

Теперь мы можем выразить длину гипотенузы ab через отрезки ac и bc:
ab = sqrt(ac^2 + bc^2) = sqrt(12^2 + (ab - 12)^2).

Заменим ab и cos(c) в этом выражении:
ab = sqrt(144 + (ab - 12)^2),
ab = sqrt(144 + (ab - 12)^2),
ab = sqrt(144 + ab^2 - 24ab + 144),
ab^2 = ab^2 - 24ab + 288.

Решив это уравнение, мы получаем значение длины стороны ab:
24ab = 288,
ab = 288 / 24 = 12.

Итак, длина стороны ab равна 12.