Для начала найдем длину высоты BK.

В треугольнике ABK и треугольнике CKB угол B равен углу C (так как это ромб), угол ABK равен углу CKB (так как это высоты, они перпендикулярны сторонам ромба), и AB=CK (так как это стороны ромба).

Поэтому треугольники ABK и CKB подобными, таким образом, мы можем записать пропорцию:

AB/KB = CK/KB
12/KB = 8/(BK + KD)
12/KB = 8/(BK + 8)

После решения данного уравнения находим KB = 16 см.

Далее, найдем длину диагонали BD. Так как это ромб, BD является его диагональю и делит его на два равных треугольника.

Используя теорему Пифагора в треугольнике ABK, найдем длину стороны AB с помощью высоты BK:

AB^2 = AK^2 - KB^2
AB^2 = 12^2 - 16^2
AB = √(144 - 256)
AB = √(-112) = 4√7

Теперь можем найти диагональ BD в ромбе:

BD^2 = AB^2 + AD^2
BD^2 = (4√7)^2 + (12 + 8)^2
BD^2 = 16*7 + 20^2
BD^2 = 112 + 400
BD = √512 = 16√2

Итак, длина высоты BK равна 16 см, а длина диагонали BD равна 16√2 см.