Для решения этой задачи нам нужно найти радиус цилиндра и высоту.

Поскольку диагональ прямоугольника (осевого сечения цилиндра) равна 12 см и образует с плоскостью основания угол 45°, то из геометрии мы знаем, что сторона прямоугольника равна r*sqrt(2), а его площадь равна r^2, где r - радиус цилиндра.

Таким образом, из условия задачи имеем:
rsqrt(2) = 12,
r = 6sqrt(2).

Теперь найдем высоту цилиндра, которая равна стороне прямоугольника: h = 6*sqrt(2).

Объем цилиндра вычисляется по формуле: V = Пr^2h = Pi(6sqrt(2))^26sqrt(2) = 72pisqrt(2) см^3.

Таким образом, объем цилиндра равен 72pisqrt(2) см^3.