Обозначим точку пересечения боковых сторон AB и CD как M. Также обозначим точку пересечения продолжений боковых сторон как N.

Так как BC:AD = 2:5, то длины отрезков BC и AD можно обозначить как 2x и 5x соответственно.

Теперь рассмотрим треугольник BMC. Мы знаем, что его площадь равна 12 см^2.

Пусть h - высота треугольника BMC, проведенная из вершины M. Тогда, площадь треугольника BMC можно найти по формуле:

S = (1/2) BM h

Так как S = 12 см^2, BM = 2x (так как это сторона трапеции), подставляем в формулу:

12 = (1/2) 2x h
12 = x * h
h = 12 / x

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AMN. Мы знаем, что AMN подобен треугольнику BCD, следовательно, соответствующие стороны обратно пропорциональны. Таким образом, MN:CD = BM:BC = 2:5.

Из этого мы можем выразить длину MN:

MN = (2/5) CD
MN = (2/5) 2x
MN = 4x / 5

Теперь мы можем найти площадь трапеции ABCD, используя формулу:

S_trap = (1/2) (AD + BC) h
S_trap = (1/2) (5x + 2x) (12/x)
S_trap = (1/2) 7x (12/x)
S_trap = 42

Ответ: Площадь трапеции ABCD равна 42 см^2.