а) Доказательство того, что ABCD является трапецией:

Из условия известно, что диагонали ОС и ОВ пересекаются. Также известно, что одна из диагоналей делит другую пополам $ОВ=6см,ОС=5см$. Рассмотрим треугольник ОВС. Так как диагонали пересекаются, значит, угол ВОС равен углу ВСО. Но также известно, что треугольники ОВС и ОСВ равнобедренные, так как ОВ=ОС. Следовательно, угол ОВС равен углу ВОС.

Теперь рассмотрим треугольник ОСА. Так как диагонали пересекаются, угол АОС равен углу СОА. Также, так как треугольник ОСА равнобедренный, угол СОА равен углу ОСА.

Из этих рассуждений следует, что углы ВОС и ОСА равны, а значит, противоположные стороны параллельны. Значит, ABCD является трапецией.

б) Найдем отношение площадей треугольников AOD и BOC. Пусть точка пересечения диагоналей равна Е.

Так как диагонали пересекаются в точке О, то можем записать, что площади треугольников AOE и DOE равны между собой. То есть, S$AOD$ = S$AOE$ + S$EOB$ + S$BOC$. Также, S$AOB$ = S$AOD$ + S$DOB$ + S$BOC$.

Следовательно, S$AOD$ = S$AOE$ + S$EOB$ + S$BOC$ = S$AOB$ - S$DOB$ = S$AOB$ - 0,5 S$AOB$ = 0,5 S$AOB$

Отношение площадей треугольников AOD и BOC равно 1:2.