Для нахождения высоты пирамиды воспользуемся теоремой Пифагора.

Сначала найдем длину боковой грани пирамиды при помощи прямоугольного треугольника, образованного боковой гранью, высотой и линией, проведенной от вершины пирамиды к середине основания.

По условию задачи, сторона основания равна 6 см. Так как угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 45 градусов, то прямой треугольник является прямоугольным, и катеты этого треугольника будут равны 6 см и (6 \cdot \cos(45^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} ) см.

Теперь найдем длину высоты пирамиды ( h ), которая проведена от вершины перпендикулярно к основанию.

Прямоугольный треугольник, образованный боковой гранью, высотой и линией, проведенной от вершины пирамиды к середине основания, также является прямоугольным. Пусть катеты этого треугольника равны ( h ) и ( \frac{1}{2}\times6 = 3 ) см.

Применим к треугольнику теорему Пифагора:

[ h^2 + (3\sqrt{2})^2 = h^2 + 18 = 9^2 ]

[ h^2 = 81 - 18 = 63 ]

[ h = \sqrt{63} = 3\sqrt{7} ]

Таким образом, высота пирамиды равна ( 3\sqrt{7} ) см.