Для определения, является ли треугольник остроугольным, тупоугольным или прямоугольным, нужно вычислить длины всех его сторон и проверить выполнение теоремы Пифагора.

Длины сторон треугольника ABC можно найти, используя формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
BC = √((x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2)
AC = √((x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2)

Где (x1, y1) = (1, 2), (x2, y2) = (-3, -1) и (x3, y3) = (-4, 5).

AB = √((-3 - 1)^2 + (-1 - 2)^2) = √((-4)^2 + (-3)^2) = √(16 + 9) = √25 = 5
BC = √((-4 + 3)^2 + (5 + 1)^2) = √((-1)^2 + (6)^2) = √(1 + 36) = √37
AC = √((-4 - 1)^2 + (5 - 2)^2) = √(-5)^2 + (3)^2) = √(25 + 9) = √34

Теперь проверим выполнение теоремы Пифагора:

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то треугольник прямоугольный.

В данном случае, наибольшая сторона треугольника AC = 5. Проверим выполнение теоремы Пифагора для AB и BC:

AB^2 + BC^2 = 5^2 + (√37)^2 = 25 + 37 = 62
AC^2 = 5^2 = 25

Видим, что 62 ≠ 25, значит, треугольник ABC не является прямоугольным. Теперь проверим остроугольный ли он:

Для этого нужно убедиться, что сумма квадратов двух меньших сторон больше квадрата наибольшей (таким образом треугольник остроугольный).

AB^2 + BC^2 < AC^2
25 + 37 < 5^2
62 < 25

62 не меньше 25, следовательно треугольник не является остроугольным. Таким образом, треугольник ABC является тупоугольным.