Пусть сторона равностороннего треугольника равна а. Обозначим высоту треугольника, проведенную из вершины до его основания, за h. Так как треугольник равносторонний, то высота также является медианой и биссектрисой, следовательно, точка, удаленная на 8 см от плоскости треугольника, является центром вписанной окружности.

Из теоремы о расстояниях от точки до прямой следует, что длина отрезка, проведенного от центра вписанной окружности до стороны треугольника, равна радиусу этой окружности, т.е. 8 см.
Также известно, что высота треугольника делит его на два равнобедренных прямоугольных треугольника, поэтому высота делиит сторону а пополам, т.е. h = a/2.

Если обозначить за x длину отрезка, проведенного от точки до ближайшей стороны треугольника, то для нахождения стороны a применим теорему Пифагора для одного из равнобедренных прямоугольных треугольников:

x^2 + (a/2)^2 = 10^2
и
(а - 2x)^2 + (a/2)^2 = 10^2

Решив данную систему уравнений, мы найдем значение стороны a, а зная сторону a, можем найти площадь треугольника:

S = (sqrt(3)/4)*a^2

Вычисления дают a = 22см, а S = 190,52 см^2.