Для доказательства данного равенства, раскроем скобки по обе стороны:

(a ⃗ + b ⃗ )(a ⃗ - b ⃗ ) = a ⃗ a ⃗ - b ⃗ b ⃗ + a ⃗ *(- b ⃗ ) + b ⃗ a ⃗ = a ⃗ a ⃗ - b ⃗ b ⃗ - a ⃗ b ⃗ + b ⃗ a ⃗

Теперь заметим, что члены -a ⃗ b ⃗ и b ⃗ a ⃗ равны друг другу и их сумма равна 0, так как умножение векторов не коммутативно.

Итак, у нас остается:

a ⃗ + b ⃗ )( a ⃗ − b ⃗ ) = a ⃗ a ⃗ − b ⃗ b ⃗ .

Таким образом, доказано что (a ⃗ + b ⃗ )( a ⃗ − b ⃗ )= a ⃗ a ⃗ − b ⃗ b ⃗ .